科学计算语言Julia及MWORKS实践 课件 26_方程组求解.pptx

目录

1、初等数学与线性函数

2、插值与拟合

3、概率统计分布计算

1

4、优化问题

方程（组）求解

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方程（组）求解按照方程（组）类型可分为线性方程（组）求解和非线性方程（组）求解，按照求解结果可分为求数值解与求解析解。

线性方程组通常可以化为Ax=b或者xA=b的矩阵形式。在Syslab中求解线性方程（组）可构造矩阵运算，通过直接求逆等方式实现。

线性方程（组）求数值解

条件

解的情况

m=n

方阵方程组，有唯一确定的解

mn

欠定方程组，即方程个数少于未知数个数。使用最多m个非零分量求基本解

mn

超定方程组，即方程个数多于未知数个数。可求最小二乘解

系数矩阵A的大小为m×n的线性方程组解的情况

线性方程组Ax=b的通解描述了所有可能的解。

对应齐次方程组Ax=0的通解

非齐次方程组Ax=b的特解

➕

null函数查看解的零空间，即求解Ax=0，可以得到解的基向量。

如何在Syslab中求解Ax=b的特解

关注

方程（组）求解

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一般系数矩阵满秩的方阵方程组，可以直接对系数矩阵求逆进行求解

Syslab中求逆的方法：

inv函数：inv(X)求方阵X的逆矩阵，等效于X^(-1)

linsolve函数：linsolve(A,b)求解线性方程组Ax=b

A是方阵时，linsolve使用LU分解和部分主元消去法

其他情况时，linsolve使用QR分解和列主元消去法

3.\运算符

示例

求解线性方程组

方程（组）求解

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系数矩阵为方阵的奇异矩阵，Ax=b的解将不存在或不唯一。

Syslab中求伪逆的方法：

pinv函数：pinv(A)求方阵A的伪逆，如果Ax=b没有精确解，则pinv(A)将返回最小二乘解。

示例

验证线性方程组是否有精确解，如果没有，求出其最小二乘解

运行结果r=2，说明矩阵A不满秩，有等于零的奇异值。

直接使用inv(A)求解报错

julia3-elementVector{Float64}:

0.9999999999999991

0.49999999999999956

2.499999999999998

与b的实际值有较大差别，因此计算得到的x只是最小二乘解。

方程（组）求解

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超定方程组和欠定方程组没有非零通解，无法求得精确解，但具有最小二乘解，因此同样可以使用pinv函数求解。

线性方程组也可以使用高斯消元法、雅可比迭代法和双共轭梯度法等算法求解，Syslab在数学工具箱稀疏数组部分提供了相关算法。

函数名

功能描述

cg

求解线性方程-预条件共轭梯度法

lsqr

求解线性方程组-最小二乘法

jacobi

求解线性方程—雅可比迭代算法

gauss_seidel

求解线性方程—高斯赛得尔迭代法

sor

求解线性方程-连续过度松弛迭代法

minres

求解线性方程-最小残差法

方程（组）求解

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Syslab中符号工具箱提供求解符号解析解的函数，便于求解含有未知变量的多项式代数方程。

函数名

功能描述

solve_for

为一组变量求解方程

islinear

检查表达式是否相对于变量表达式列表是线性的

find_poles

求解表达式或函数的极点

NolinearSystem

创建非线性方程组系统

注意事项：

进行符号运算求解解析解前，首先需要定义变量与参数

示例

求解方程组的解

符号工具箱中还提供符号简化、公式重排和重写的函数。

矩阵幂的相关运算

7

(1)求解上述矩阵A的2次幂；

(2)求解上述矩阵A的逆3次幂；

矩阵幂的相关运算

8

(3)求解上述矩阵A的2/3次幂；

(4)求解上述矩阵A对矩阵中的每个元素求平方、平方根；

(5)对比对矩阵A求平方根与对矩阵A中每个元素求平方根的区别。