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三角函数周期性中的典型例题

蒋雷

【期刊名称】《高中数理化》

【年(卷),期】2019(000)001

【总页数】2页(P10-11)

【作者】蒋雷

【作者单位】山东省邹城市第一中学

【正文语种】中文

函数周期性是整个高中数学中比较重要的内容,在高考中,经常会出现有关的试

题．下面从三角函数周期性的有关问题中,归纳出几个典型例题．

在三角函数中,解决最小正周期问题主要有两类:1)直接利用最小正周期公式求解;2)

根据三角函数图象和性质,确定最小正周期或运用最小正周期解决相关的问题．

例1函数的最小正周期是________.

根据最小正周期公式,需要将函数表达式转化为可求最小正周期的形式,即一次

式．所以需要降幂、引入辅助角．

所以最小正周期为

有关三角函数最小正周期公式,有如表1所示的形式.

表1函数最小正周期公式条件

y=Asin(ωx+φ)+By=Acos(ωx+φ)+BT=2π|ω|Aω≠0y=A|sin(ωx+φ)|+By=A|co

s(ωx+φ)|+By=Atan(ωx+φ)+By=A|tan(ωx+φ)|+BT=π|ω|Aω≠0

由表格不难看出,要解决三角函数的最小正周期问题,必须将表达式或绝对值符号里

面的表达式经过三角变换转化为一次式的形式．

例2f(x)=sin4x+cos2x的最小正周期是().

解法1根据最小正周期公式,需要将表达式转化为一次式的形式.

f(x)=sin4x+cos2x=

所以最小正周期为故选B.

解法2根据选择题特点,验证求解．由弦类函数的周期性及诱导公式不难发现,选项

C、D都是其周期,所以一定不是D.又因为

下面要判断是否存在恒等式

sin4x+cos2x=cos4x+sin2x.

因为cos4x-sin4x=cos2x-sin2x恒成立,所以排除C.

又因为故排除A,所以选B.

例3若函数在任意两个整数为端点的区间内至少存在一个最大值和一个最小值,则

负整数m的最大值为________.

根据三角函数的图象和性质,不难发现,题设中隐含着此函数的最小正周期不大于1,

即即m≤-10π≈-31.4,所以负整数m的最大值为-32.

与三角函数图象性质有关的最小正周期问题需要掌握如下两个结论:

1)函数y=Asin(ωx+φ)+B(y=Acos(ωx+φ)+B)的图象对称轴(对称中心)之间距离

的最小值为最小正周期的一半,对称中心到对称轴距离的最小值为最小正周期的

1/4;

2)函数y=Atan(ωx+φ)+B对称中心之间距离的最小值为最小正周期的一半．

例4函数f(x)=sin4x+cos4x图象的对称中心到函数g(x)=sin4x+cos2x对称轴距

离的最小值为________.

f(x)=sin4x+cos4x=1-2sin2xcos2x=

而由例2得

由此不难看出两个函数的最小正周期相同(都是而且它们的图象都是由函数y=cos

4x图象经过纵向伸缩和纵向平移得到的,进而得到两个函数图象的对称轴相同(都是

直线所以距离的最小值为

需要明确的是，根据三角函数图象和性质,不难看出,正弦函数虽是奇函数,但其对称

中心不止原点,还有无穷多个,同时也是轴对称图形．由此可以提出问题:如果函数

f(x)是奇函数,且其图象还存在原点以外的对称中心或对称轴,能否推出这个函数为

周期函数呢?偶函数是否同样可以这样拓展?答案是肯定的!根据奇偶性和对称性作

为已知条件均可推出这些函数是周期函数．下面给出其中一个结论的证明.

结论已知函数f(x)为奇函数,且满足f(x)+f(2-x)=0,则f(x)为周期函数.

证明因为函数f(x)为奇函数,且满足f(x)+f(2-x)=0,进而得f(x)=f(x-2),即

f(x+2)=f(x),所以f(x)为周期函数．