2025年中考数学一轮复习一元二次方程（解析版）.docxVIP

考点三一元二次方程

知识整合

一、一元二次方程的概念

1．一元二次方程

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．

2．一般形式

（其中为常数，），其中分别叫做二次项、一次项和常数项，分别称为二次项系数和一次项系数．

注意：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意，因为当时，不含有二次项，即不是一元二次方程；

（2）一元二次方程必须具备三个条件：

①必须是整式方程；

②必须只含有一个未知数；

③所含未知数的最高次数是2．

二、一元二次方程的解法

1．直接开平方法

适合于或形式的方程．

2．配方法

（1）化二次项系数为1；

（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项；

（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

（4）把方程整理成的形式；

（5）运用直接开平方法解方程．

3．公式法

（1）把方程化为一般形式，即；

（2）确定的值；

（3）求出的值；

（4）将的值代入即可．

4．因式分解法

基本思想是把方程化成的形式，可得或．

考向一一元二次方程解法

典例引领

1．解下列方程：

(1)；

(2)．

【答案】(1)，；

(2)，．

【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，

（1）根据配方法即可求出答案；

（2）根据因式分解法即可求出答案．

【详解】（1）∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，；

（2）∵，

∴，

∴或，

∴．

2．解方程：

(1)；（配方法）

(2)；（公式法）

(3)；（因式分解法）

(4)．（选择适当的方法）

【答案】(1)，

(2)，

(3)，

(4)，

【分析】本题考查了解一元二次方程，

（1）根据配方法计算即可；

（1）根据公式法计算即可；

（3）根据因式分解法计算即可；

（4）根据公式法计算即可．

【详解】（1）解：，

移项得：，

配方得：，即，

开方得：，

则，；

（2）由题意可得：，，，

∴，

∴，

∴，；

（3）

∴

即

∴或

解得，；

（4）解：

，

解得：，．

3．解方程：

(1)；

(2)．

【答案】(1)

(2)

【分析】本题考查了解一元二次方程．

（1）利用解一元二次方程-因式分解法，进行计算即可解答；

（2）利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答．

【详解】（1）解：

或

解得：；

（2）解：

解得：．

4．用适当的方法解下列方程：．

【答案】，

【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，利用因式分解法解一元二次方程即可；解题的关键是掌握一元二次方程的解法．

【详解】

整理得，

∴，

解得，．

5．提出问题：

为解方程，我们可以令，于是原方程可转化为，解此方程，得（不符合要求，舍去）．

当时，．

原方程的解为．

以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想．

解决问题：运用上述换元法解方程：．

【答案】，，，

【分析】本题考查换元法解高次方程，根据材料提示，令，利用换元法解方程即可求解．

【详解】解：令，

则原方程可转化为，

因式分解得，

解得，．

当时，解得，，

当时，解得，，

原方程的解为，，，．

6．换元法是数学中的一种解题方法．若我们把其中某些部分看成一个整体，用一个新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．如：解二元一次方程组，按常规思路解方程组计算量较大．可设，，那么方程组可化为，从而将方程组简单化，解出和的值后，再利用，解出和的值即可．用上面的思想方法解方程：

(1)；

(2)

【答案】(1)；；；

(2)，

【分析】该题主要考查了换元思想解方程，一元二次方程的解答，分式方程的解答，解题的关键是运用换元法进行整体代换；

（1）设，将原方程化为，解得或，再分别代入求解分式方程的解即可；

（2）设，则有，将原方程化为：，解得（舍）或，再代入求解即可；

【详解】（1）设，

原方程化为，

，

解得或，

当时，，

解得或，

经检验，或是方程的解；

当时，，

解得或，

经检验，或是方程的解．

∴原方程的解为：；；；．

（2）设，则有，

原方程可化为：，

解得（舍）或，

，

，

解得或；

经检验：，是原方程的解．

7．解下列方程：

(1)；

(2)．

【答案】(1)；

(2)．

【分析】本题考查了解一元二次方程的能力．

（1）利用因式分解法求解即可；

（2）利用公式法求解即可．

【详解】（1）解：，

∴，

∴或，

∴；

（2）解：∵，

∴，

∴，

∴，

∴．

8．解方程：

(1)；

(2)．

【答案】(1)

(2)

【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．

（1）用配方法求解即可；

（2）移项后用因式分解法求解即可．

【详解】（1）∵，

∴，

∴，

∴