2025年中考数学一轮复习等腰三角形与直角三角形（解析版）.docxVIP

考点四等腰三角形与直角三角形

知识点整合

一、等腰三角形

1．等腰三角形的性质

定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．

推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．

推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°．

2．等腰三角形的判定

定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．

推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．

推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

二、等边三角形

1．定义：三条边都相等的三角形是等边三角形．

2．性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．

3．判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．

三、直角三角形与勾股定理

1．直角三角形

定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．

性质：（1）直角三角形两锐角互余；

（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；

（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．

判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形；

（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．

2．勾股定理及逆定理

（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2．

（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．

考向一等腰三角形的性质判定

1．等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴．

2．等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°．学-科网

3．等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．

4．等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则a．

5．等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°-2∠B，∠B=∠C=．

6．等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据．

7．底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．

典例引领

1．如图，边长为12的等边，F是边AC的中点，点D是线段BF上的动点，连接AD，在AD的右侧作等边，连接CD、CE、EF，下列说法正确的有（????）个．

①；②；③；④的周长最小值为18；⑤的大小随着点D的移动而变化．

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等．根据三线合一定理即可判断①；证明是线段的垂直平分线，得到，再由等边三角形的性质证明，即可判断②③；根据点到直线的距离垂线段最短可知当即D与F重合时，最小，即此时的周长最小，即可判断④；证明，得到即可判断⑤．

【详解】解：∵是等边三角形，F是边的中点，

∴，故①正确；

∴是线段的垂直平分线，

∴，

∵是等边三角形，

∴，

∴，故③正确；

∴，故②正确；

∵D在线段上，

∴当即D与F重合时，最小，即此时的周长最小，

∵等边三角形的边长为6，F是边的中点，

∴，

∴的周长的最小值为，故④错误；

∵都是等边三角形，

∴，

∴，

∴，

∴，故⑤错误；

∴正确的一共有3个，

故选：B．

2．如图，在等腰三角形中，，D为的中点，点E在上，，若点P是等腰三角形的边上的一点，则当为等腰三角形时，的度数是（????）

A． B． C．减 D．或

【答案】C

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．过D作，，易证，，再根据四边形内角和即可得到答案．

【详解】解：连接，

∵，，

∴，

∵点P是等腰的腰上的一点，，D为的中点，

∴，

过D作，，

∴，

在与中，

，

∴，

∴，

∵，

∴，

同理可得，

∴，

∴，

故选C

二、填空题

3．如图，在中，，，D为中点，P为上一点，E为延长线上一点，且．有以下结论：①；②为等边三角形；③；④．其中正确的结论有（填序号）

【答案】①②③④

【分析】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质，根据D为中点，得到垂直平分，即可得到，结合，即可得到，从而得到，，即可判断①，结合内外角关系即可判断角②，作P关于的对称点，证明即可判断③，过作，在上截取，证明，结合面积公式即可得到答案；

【详解】解：连接，延长交于，

∵D为中点，，

∴垂直平分，

∴，

∵，

∴，

∴