长沙市南雅中学2024届高三下学期第二阶段考试数学试题试卷.doc

长沙市南雅中学2024届高三下学期第二阶段考试数学试题试卷

请考生注意：

1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．对于函数，若满足，则称为函数的一对“线性对称点”．若实数与和与为函数的两对“线性对称点”，则的最大值为（）

A． B． C． D．

2．已知集合，则集合（）

A． B． C． D．

3．某大学计算机学院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生.薛教授欲从人工智能领域的语音识别、人脸识别，数据分析、机器学习、服务器开发五个方向展开研究，且每个方向均有研究生学习，其中刘泽同学学习人脸识别，则这6名研究生不同的分配方向共有（）

A．480种 B．360种 C．240种 D．120种

4．二项式的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是()

A．180 B．90 C．45 D．360

5．若复数满足，复数的共轭复数是，则（）

A．1 B．0 C． D．

6．若向量，则（）

A．30 B．31 C．32 D．33

7．设全集，集合，则＝()

A． B． C． D．

8．双曲线x26-y23=1的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝

A．3 B．2

C．3 D．6

9．的展开式中的系数为（）

A． B． C． D．

10．设，则““是“”的（）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必条件

11．已知等差数列的前项和为，若，则等差数列公差（）

A．2 B． C．3 D．4

12．若双曲线：绕其对称中心旋转后可得某一函数的图象，则的离心率等于（）

A． B． C．2或 D．2或

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在三棱锥中，已知，且平面平面，则三棱锥外接球的表面积为______.

14．函数的最小正周期是_______________，单调递增区间是__________.

15．函数在处的切线方程是____________.

16．已知均为非负实数，且，则的取值范围为______．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）如图，在四棱锥中，平面ABCD平面PAD，，，，，E是PD的中点．

证明：；

设，点M在线段PC上且异面直线BM与CE所成角的余弦值为，求二面角的余弦值．

18．（12分）在如图所示的多面体中，四边形是矩形，梯形为直角梯形，平面平面，且，，.

（1）求证：平面.

（2）求二面角的大小.

19．（12分）设的内角、、的对边长分别为、、.设为的面积，满足.

(1)求；

(2)若，求的最大值.

20．（12分）椭圆的左、右焦点分别为，椭圆上两动点使得四边形为平行四边形，且平行四边形的周长和最大面积分别为8和.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线与椭圆的另一交点为，当点在以线段为直径的圆上时，求直线的方程.

21．（12分）已知三棱柱中，，是的中点，，.

（1）求证：；

（2）若侧面为正方形，求直线与平面所成角的正弦值.

22．（10分）已知动点到定点的距离比到轴的距离多.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）设，是轨迹在上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当，变化且时，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

根据已知有，可得，只需求出的最小值，根据

，利用基本不等式，得到的最小值，即可得出结论.

【详解】

依题意知，与为函数的“线性对称点”，

所以，

故（当且仅当时取等号）.

又与为函数的“线性对称点，

所以，

所以，

从而的最大值为.

故选:D.

【点睛】

本题以新定义为背景，考查指数函数的运算和图像性质、基本不等式，理解新定义含义，正确求出的表达式是解题的关键，属于中档题.

2、D

【解析】

弄清集合B的含义，它的元素x来自于集合A，且也是集合A的元素.

【详解】

因，所以，故，又，，则，

故集合.

故选：D.

【点睛】

本题考查集合的定义，涉及到解绝对值不等式，是一道基础题.

3、B

【解析】

将人脸识别方向的人数分成：有人、有人两种情况进行分类讨论，结合捆绑计算出不同的分配方法数.

【详解】

当人脸识别方向有2人时，有种，当人脸识别方向有1人时，有种，∴共有360种.

故选：B

【点睛】

本