2025年中考数学一轮复习二次根式（解析版）.docxVIP

考点二二次根式

知识点整合

1．二次根式的有关概念

（1）二次根式的概念

形如的式子叫做二次根式．其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．

【注意】被开方数只能是非负数．即要使二次根式eq\r(a)有意义，则a≥0．

（2）最简二次根式

被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．

（3）同类二次根式

化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式．

2．二次根式的性质

（1）≥0（≥0）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）．

3．二次根式的运算

（1）二次根式的加减

合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．

（2）二次根式的乘除

乘法法则：；

除法法则：．

（3）二次根式的混合运算

二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．

在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用．

考向一二次根式的概念及性质

1．二次根式的有关概念

（1）二次根式的概念

形如的式子叫做二次根式．其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．

2．二次根式的性质

（1）≥0（≥0）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）．

典例引领

1．在函数中，自变量的取值范围是（????）

A．且 B． C．且 D．且

【答案】C

【分析】本题考查了函数的自变量有意义的条件，分式有意义的条件、二次根式有意义的条件．根据分式的分母不能为0，被开方数不0即可得．

【详解】解：在函数中，

函数的自变量有意义的条件是，，

解得且，

即自变量的取值范围是且，

故选：C．

2．下列式子有意义的是（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义就是被开方数大于或等于0．根据二次有意义的条件依次判定即可．

【详解】A、被开方数是，故无意义，不符合题意；

B、被开方数是，故无意义，不符合题意；

C、被开方数是，故有意义，符合题意；

D、被开方数是，故无意义，不符合题意．

故选：C．

3．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．

【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，

∴，

∴，

故选：B．

4．要使在实数范围内有意义，应满足的条件是（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】本题考查了二次根式，掌握二次根式被开方数是非负数是解答本题的关键．

根据被开方数大于等于，得，由此选出答案．

【详解】解：根据题意，

，

解得，

故选：．

5．若在实数范围内有意义，则实数的值可以是．（写一个即可）

【答案】0（答案不唯一）

【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式中被开方数大于等于0是解题的关键．

根据二次根式中被开方数的非负性求解．

【详解】解：由题意可知，

解得，

则的值可以是0．

故答案为：0(答案不唯一)．

6．若在实数范围内有意义，则x取值范围为．

【答案】

【分析】本题考查了二次根式和分式有意义，是基础题．

由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．

【详解】解：要使有意义，

则，

解得且．

∴的取值范围是．

故答案为：．

7．要使代数式有意义，则x可以取的最小整数是．

【答案】3

【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件．根据“二次根式的被开方数为非负数”，即可求解．

【详解】解：根据题意得：，

解得：，

∴x可以取的最小整数是3．

故答案为：3

8．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．

【答案】

【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，列出不等式进行求解即可，掌握二次根式被开方数是非负数是解答本题的关键．

【详解】解：在实数范围内有意义，

，

，

故答案为：．

9．函数的自变量x的取值范围是．

【答案】且

【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件．根据二次根式和分式有意义的条件得到且，解不等式即可求解．

【详解】解：由题意可得：且，

解得且．

∴自变量x的取值范围是且．

故答案为：且

10．若代数式有意义，则的取值范围是．

【答案】且

【分析】根据二次根式的意义、分式有意义的条件列不等式组求解即可；掌握二次根式的被开方数大于等于零，分式的分母不等于零是解题的关键．

【详解】解：由题意可得：，解得：且．

故答案为