2024年概率知识点总结汇总.doc

第一章??随机事件和概率?

（1）排列组合公式

??從m個人中挑出n個人進行排列的也許数。

??從m個人中挑出n個人進行组合的也許数。

（2）加法和乘法原理

加法原理（两种措施均能完毕此事）：m+n

某件事由两种措施来完毕，第一种措施可由m种措施完毕，第二种措施可由n种措施来完毕，则這件事可由m+n种措施来完毕。

乘法原理（两個环节分别不能完毕這件事）：m×n

某件事由两個环节来完毕，第一种环节可由m种措施完毕，第二個环节可由n种措施来完毕，则這件事可由m×n种措施来完毕。?

?

（3）某些常見排列

反复排列和非反复排列（有序）

對立事件（至少有一种）

次序問題

（4）随机试验和随机事件

假如一种试验在相似条件下可以反复進行，而每次试验的也許成果不止一种，但在進行一次试验之前却不能断言它出現哪個成果，则称這种试验為随机试验。

试验的也許成果称為随机事件。

（5）基本领件、样本空间和事件

在一种试验下，不管事件有多少個，總可以從其中找出這样一组事件，它具有如下性质：

①每進行一次试验，必须发生且只能发生這一组中的一种事件；

②任何事件，都是由這一组中的部分事件构成的。

這样一组事件中的每一种事件称為基本领件，用来表达。

基本领件的全体，称為试验的样本空间，用表达。

一种事件就是由中的部分點（基本领件）构成的集合。一般用大写字母A，B，C，…表达事件，它們是的子集。

為必然事件，?為不也許事件。

不也許事件（?）的概率為零，而概率為零的事件不一定是不也許事件；同理，必然事件（Ω）的概率為1，而概率為1的事件也不一定是必然事件。

（6）事件的关系与运算

①关系：

假如事件A的构成部分也是事件B的构成部分，（A发生必有事件B发生）：

假如同步有，，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。

A、B中至少有一种发生的事件：AB，或者A+B。

属于A而不属于B的部分所构成的事件，称為A与B的差，记為A-B，也可表达為A-AB或者，它表达A发生而B不发生的事件。

A、B同步发生：A?B，或者AB。A?B=?，则表达A与B不也許同步发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本领件是互不相容的。

-A称為事件A的逆事件，或称A的對立事件，记為?。它表达A不发生的事件。互斥未必對立。

②运算：

?結合率：A(BC)=(AB)C?A∪(B∪C)=(A∪B)∪C

?分派率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C)?(A∪B)∩C=(AC)∪(BC)

?德摩根率：?????，

（7）概率的公理化定义

设?為样本空间，?為事件，對每一种事件?均有一种实数P(A)，若满足下列三個条件：

1°0≤P(A)≤1，

2°P(Ω)=1

3°對于两两互不相容的事件?，?，…有

?

常称為可列（完全）可加性。

则称P(A)為事件?的概率。

（8）古典概型

1°，

2°。

设任一事件?，它是由构成的，则有

P(A)=?=

?

（9）几何概型

若随机试验的成果為無限不可数并且每個成果出現的也許性均匀，同步样本空间中的每一种基本领件可以使用一种有界区域来描述，则称此随机试验為几何概型。對任一事件A，

。其中L為几何度量（長度、面积、体积）。

（10）加法公式

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

當P(AB)＝0時，P(A+B)=P(A)+P(B)

（11）減法公式

P(A-B)=P(A)-P(AB)

當BA時，P(A-B)=P(A)-P(B)

當A=Ω時，P()=1-P(B)

（12）条件概率

定义设A、B是两個事件，且P(A)0，则称為事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记為。

条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。

例如P(Ω/B)=1P(/A)=1-P(B/A)

（13）乘法公式

乘法公式：

更一般地，對事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)0，则有

…?……?…?。

（14）独立性

①两個事件的独立性

设事件?、?满足?，则称事件?、?是互相独立的。

若事件?、?互相独立，且?，则有

?

若事件?、?互相独立，则可得到?与?、?与?、?与?也都互相独立。

必然事件?和不也許事件?与任何事件都互相独立。

?与任何事件都互斥。

②多种事件的独立性

设ABC是三個事件，假如满足两两独立的条件，

P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)

并且同步满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

那么A、B、C互相独立。

對于n個事件类似。

（15）全概公式

设事件?满足

1°?两两互不相容，?，

2°?，

则有

。

（16）贝叶斯公式

设事件?，?，…，?及?满足

1°，?，…，?两两互不相容，?0，?1，2，…，?，

2°，