2025年中考数学一轮复习锐角三角函数（精讲）（原卷版）.docxVIP

考点26.锐角三角函数（精讲）

【命题趋势】

锐角三角函数及其应用是数学中考中比较重要的考点,主要考查锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数，尤其是应用主要在综合题中考查，是考查重点，每年都有一道三角函数的综合题，还常和四边形、圆、网格图形等结合考察，是近几年中考填空压轴题常考题型，分值为12分左右。预计2024年各地中考还将以选填题和综合题的形式出现，在牢固掌握定义的同时，一定要理解基本的方法，利用辅助线构造直角三角形，是得分的关键。

【知识清单】

1：锐角三角函数（☆☆）

1）锐角三角函数的概念：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．（其中：0＜∠A＜90°）

2）正弦、余弦、正切的概念：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，

正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=．

3）特殊角的三角函数值

α

sinα

cosα

tanα

30°

45°

1

60°

【补充】表中是特殊角的三角函数值.反过来，若已知一个特殊角的三角函数值，则可求出相应的锐角.

4）锐角三角函数的性质

当0°＜∠A＜90°时，sinA随∠A的增大而增大；cosA随∠A的增大而减小；tanA随∠A的增大而增大。

2：解直角三角形（☆☆）

1）解直角三角形的概念：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．

2）在解直角三角形的过程中，常用关系：

在Rt△ABC中，∠C=90°，则：（1）三边关系：a2+b2=c2；（2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；

（3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=；4）sin2A+cos2A=1．

3：解直角三角形的应用（☆☆☆）

1）解直角三角形的相关的名词、术语：

（1）视角：视线与水平线的夹角叫做视角。

仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角。

俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角。

（2）方位角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．

（3）坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=．

坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．

2）解直角三角形实际应用的一般步骤：

（1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；

（2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；

（3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；

（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．

3）测量物体的高度（距离）的常见模型：

（1）利用水平距离测量物体高度（双直角三角形）

解题方法：（已知条件：，求高m）这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解。

（2）测量底部可以到达的物体高度

解题方法：1）已知测量仪高m，水平距离n，角α，求高h；2）已知水平距离n，角α，角β，求高h=h1+h2；这两种模型种可结合水平距离和相应角度，用正切值解题。

（3）测量底部不可到达的物体的高度

注意：1）在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素（至少有一条边），可求出其余的三个未知元素（知二求三）；2）已知两个角不能解直角三角形，因为有两个角对应相等的两个三角形相似，但不一定全等，因此其边的大小不确定。

【易错点归纳】

1.若锐角是用一个大写英文字母或一个小写希腊字母表示的，则表示它的正弦、余弦及正切时习惯省略角的符号“∠”，如tanA、sina、cosA；若锐角是用三个大写英文字母或一个数字表示的，则表示它的正弦、余弦及正切时，不能省略角的符号“∠”，如sin∠ABC，cos∠2，tan∠1。

2.锐角三角函数是针对直角三角形中的锐角而言的，而且由锐角三角函数的定义可知，其本质特征是两条线段长的比。因此,锐角三角函数只有数值，没有单位，它的大小只与角的大小有关，而与它所在的三角形的边长无关。

3.根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形。

【核心考点】

核心考点1.锐角三角函数

例1：（2023年四川省内江市中考数学真题）在中，的对边分别为a、b、c，且满足，则的值为．

变式1．（2024·河北承德·九年级统考期末）在中，，若的三边都扩大5倍，则的值（）

A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不能确定 D．不变

变