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§132杨辉三角与二项式系数的性质
学习目标
1了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系;
2能选择自然语言图形语言集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用;
3掌握集合的表示方法常用数集及其记法集合元素的三个特征
课前预习案
教材助读
(预习教材P32~P35,找出疑惑之处)
复习1:写出二项式定理的公式:
⑴公式中叫做,二项展开式的通项公式是,用符号表示,通项为展开式的第项
⑵在展开式中,共有项,各项次数都为,的次数规律是,
的次数规律是,各项系数分别是
复习2:求展开式中的第4项二项式系数和第4项的系数
课内探究案
一新课导学
探究点一:杨辉三角
问题1:在展开式中,当n=1,2,3,…时,各项的二项式系数有何规律?
新知1:上述二项式系数表叫做“杨辉三角”,表中二项式系数关系是
探究任务二二项式系数的性质
问题2:设函数,函数的定义域是,函数图象有何性质?(以n=6为例)
探究点二:二项式系数的性质
⑴对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,图象的对称轴是
试试:
①在(a+b)展开式中,与倒数第三项二项式系数相等是()
A第2项B第3项C第4项D第5项
②若的展开式中,第三项的二项式系数与第五项的二项式系数相等,则n=
反思:为什么二项式系数有对称性?
⑵增减性与最大值:从图象得知,中间项的二项式系数最,左边二项式系数逐渐,右边二项式系数逐渐
当n是偶数时,中间项共有项,是第项,它的二项式系数是,取得最大值;
当n是奇数时,中间项共有项,分别是第项和第项,它的二项式系数分别是和,二项式系数都取得最大值
试试:的各二项式系数的最大值是
⑶各二项式系数的和:
在展开式中,若,则可得到
即
二合作探究
例1求的展开式中系数最大的项
变式:在二项式(x1)的展开式中,⑴求二项式系数最大的系数的项;⑵求项系数最小的项和最大的项
小结:在展开式中,要正确区分二项式系数和项系数的不同,可以利用通项公式,找到二项式系数和项系数的关系来达到目的
例2证明:在展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和
变式:⑴化简:;
⑵求和:
小结:取特殊值法(又称赋值法)在解决有关二项式系数和时经常使用的一种,除此之外还有倒序相加法
※动手试试
练1①在(1+x)的展开式中,二项式系数最大的是第项为;(用符号表示即可)
②在(1x)的展开式中,二项式系数最大的是
第项为(用符号表示即可)
练2若,
则,
【归纳总结】
※学习小结
1二项式系数的三个性质
2数学方法:赋值法和递推法
※知识拓展
早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里这个表称为杨辉三角。杨辉指出这个方法出于《释锁》算书,且我国北宋数学家贾宪(约公元世纪)已经用过它。这表明我**现这个表不晚于世纪。在欧洲,这个表被认为是法国数学家帕斯卡首先发现的,他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说,杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右
三当堂检测
1在的展开式中,系数最大的项是
第项;
2在的展开式中,二项式系数最大的是
第项,项系数最小的项是第项;
3计算=
4若,则=;
5化简:
四课后反思
课后训练案
1⑴求展开式的中间一项;
⑵求展开式的中间两项
2已知的展开式中
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