(完整版)容斥原理例题 .pdfVIP

1五年级一班有45名同学，每人都积极报名参加暑假体育训练班，其中报足球班的有

25人，报篮球班的有20人，报游泳班的有30人，足球、篮球都报者有10人，足球、游泳都

报者有10人，足球、篮球都报者有12人。请问：三项都报的有多少人？

分析：由于问题比较复杂，我们把它简化成下图要计算阴影部分的面积，我们记∩

.AB

为圆与圆公共部分的面积，∩为圆与圆公共部分的面积，∩表示圆与圆

ABBCBCACA

C的公共部分的面积，x为阴影部分的面积则图形盖住的面积为：A+B+C-A∩B-B∩C-A∩

C+X。

请同学们注意：阴影部分的面积先加了3次，然后又被减了3次，最后又加了1次。

解答：设三项都报的有x人，由容斥原理有

30+25+20-10-10-12+x=45

解得x=2。

答：三项都报名的有2人。

说明：在“∩∩∩”式中，，，，∩，∩，∩，

A+B+C-AB-BC-AC+XABCABBCAC

x和总量这8个数中，只要知道了7个数，就可通过列方程求出第8个数。

例从至这个自然数中，不能被、、中任何一个自然数整除的数一共

2110001000357

有多少个？

分析：第一步先求出：能被、、中任何一个自然数整除的数一共有多少个？第二

357

步再求出：不能被、、中任何一个自然数整除的数一共有多少个？能被整除的自然数

3573

的个数+能被5整除的自然数的个数+能被7整除的自然数的个数－（既能被3整除又能被

5整除的自然数的个数+既能被3整除又能被7整除的自然数的个数+既能被5整除又能被7

整除的自然数的个数）能同时被、、整除的自然数的个数能被、、中任何一个自

+357=357

然数整除的数的个数。

解答：能被3整除的自然数有多少个？

÷⋯⋯有个。

10003=3331333

能被5整除的自然数有多少个？

÷有个。

10005=200200

能被7整除的自然数有多少个？

÷⋯⋯有个。

10007=1426142

既能被3整除又能被5整除的自然数有多少个？

÷⋯⋯有个。

100015=661066

既能被3整除又能被7整除的自然数有多少