2025年中考数学一轮复习二次根式（精讲）（原卷版）.docxVIP

考点04.二次根式（精讲）

【命题趋势】

二次根式在各地中考中，每年考查2道题左右，分值为8分左右，对二次根式的考查主要集中在对其取值范围、化简、计算等方面，其中取值范围类考点多出选择题、填空题形式出现，而化简计算则多以解答题形式考察。此外，二次根式还常和锐角三角函数、实数、其他几何图形等结合出题，难度不大，但是也多属于中考必考题。

【知识清单】

1：二次根式的相关概念（☆☆）

（1）二次根式的概念：形如的式子叫做二次根式。其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数。

注意：被开方数只能是非负数。即要使二次根式eq\r(a)有意义，则a≥0。

（2）最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式。

（3）同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式。

2：二次根式的性质与化简（☆☆☆）

（1）二次根式的性质：

1）双重非负性：≥0（≥0）；2）；3）；

（2）二次根式的化简方法：

1）利用二次根式的基本性质进行化简；

2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简。

（3）化简二次根式的步骤：1）把被开方数分解因式；2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积；3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2。

3：二次根式的的运算（☆☆☆）

（1）加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并。

口诀：一化、二找、三合并。

（2）乘法法则:两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即：。

（3）除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即：。

（4）分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程。

分母有理化因式：

1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分；即：。

2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分；

即：。

（5）混合运算顺序：二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的。在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用。

【易错点归纳】

1.二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如：、都是二次根式。

2.最简二次根式必须同时满足以下两个条件：①开方数所含因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）；②不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，即被开方数的因数或因式的指数都为1。

3.根据二次根式的性质化简时，前无“-”,化简出来就不可能是一个负数。

4.利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简。

5.化简（或计算）后的最后结果应为最简二次根式，并且分母中不含二次根式。

6.二次根式进行加减运算时，根号外的系数因式必须为假分数形式。

【核心考点】

核心考点1.二次根式的相关概念

例1：（2023·四川绵阳·中考真题）使式子在实数范围内有意义的整数x有()

A．5个 B．3个 C．4个 D．2个

变式1．（2023·浙江金华·统考中考真题）要使有意义，则的值可以是（????）

A．0 B． C． D．2

变式2．（2023·江苏·校考模拟预测）已知x、y为实数，且，则的值是．

例2：（2023·山东烟台·统考中考真题）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（????）

A． B． C． D．

变式1.（2023·广东·九年级校考阶段练习）下列各式中，不是二次根式的是（）

A． B． C． D．

变式2.（2020·山东济宁市·中考真题）下列各式是最简二次根式的是（）

A． B． C． D．

变式3．（2023·河南驻马店·九年级校考阶段练习）请写出一个大于2且小于3的二次根式：．

例3：（2023·重庆·九年级校考期中）如果最简二次根式与和是同类二次根式，那么a的值是（）

A．4 B．5 C．6 D．8

变式1．（2023·湖南衡阳·九年级统考期中）最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为．

例4：（2023·湖北黄冈·统考中考真题）请写出一个正整数m的值使得是整数；．

变式1．（2023上·广东惠州·九年级校考期中）已知为正整数，且也为正整数，则的最小值为．

核心考