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2.5极限存在准则两个重要极限
习题2.5
用单调有界数列必有极限的定理证明下列数列的极限存在：
（1）
证明：显然单调上升。又因为
所以有极限。
（2）
证明：显然单调上升。又因为
所以有极限。
（3）
证明：显然单调下降。又因为，所以有极限。
（4）
证明：
。所以单调下降。又因为，
所以有极限。
求下列数列的极限：
（1）
解：显然。假设则。所以由归纳法，所有的都小于。进而，单调上升，所以极限存在。设，则由得，或。根据单调上升，应有，所以
（2）
解：由此看出，若则，而，所以单调上升，有上界，所以极限存在。设，则由得，。根据的每项都为正数，应有，所以
（3）
解：情形1：
显然。
情形2：。
此时，所以单调下降，有下界，所以极限存在。设，则由得，。所以
情形3：。
此时满足情形2，所以所以
（4）
解：，
而，所以
计算下列极限：
（1）
解：原式
（2）
解：原式
（3）
解：原式
（4）
解：原式
（5）
解：原式
（6）
解：原式
（7）
解：原式。
（8）
解：原式。
（9)
解：原式
（10）
解：原式
（11）
解：原式
（12）
解：是时的无穷小量，有界，所以
（13）
解：原式
(14)
解：原式
(15)
解：原式
4。计算下列极限：
（1）。
解：原式
（2）。
解：原式
（3）。
解：原式
（4）。
解：原式
（5）若，求。
解：原式所以
（6）。
解：原式
（7）。
解：原式
（8）。
解：原式
（9）。
解：原式
5.利用极限存在准则证明：
（1）
证明：而，所以
（2）
证明：而，所以
（3）数列的极限存在。
证明：显然数列单调上升。，若，则又，所以对于所有的都有，所以数列的极限存在。
（4）
证明：，而，所以
（5）
证明：，所以，而，所以
（6）设证明
证明：情形1：
由于，而，所以
情形2：。
情形3：
，而所以
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