安徽省寿县安丰高级中学2024届高考数学一轮复习 第三章 不等式 不等式的综合应用导学案 新人教版必修5.docVIP

不等式的综合应用

典例精析

题型一含参数的不等式问题

【例1】若不等式组的解集中所含整数解只有2，求k的取值范围

【解析】由x2x2＞0有x＜1或x＞2，

由2x2＋(5＋2k)x＋5k＜0有(2x＋5)(x＋k)＜0

因为2是原不等式组的解，所以k＜2

由(2x＋5)(x＋k)＜0有52＜x＜k

因为原不等式组的整数解只有2，所以2＜k≤3，即3≤k＜2，

故k的取值范围是[3,2)

【点拨】涉及到含参数的不等式解集的有关问题时，借助数轴分析，往往直观简洁

【变式训练1】不等式(1)na＜2＋(1)n＋1n对任意n∈N*恒成立，求实数a的取值范围

【解析】当n为奇数时，a＜2＋1n，即a＞(2＋1n)

而(2＋1n)＜2，则a≥2；

当n为偶数时，a＜21n，而21n≥212＝32，所以a＜32

综上可得2≤a＜32

【点拨】不等式中出现了(1)n的时候，常常分n为奇数和偶数进行分类讨论

题型二不等式在函数中的应用

【例2】已知函数f(x)＝2xax2＋2在区间[1,1]上是增函数

(1)求实数a的值组成的集合A；

(2)设x1，x2是关于x的方程f(x)＝1x的两个相异实根，若对任意a∈A及t∈[1,1]，不等式m2＋tm＋1≥|x1x2|恒成立，求实数m的取值范围

【解析】(1)f′(x)＝4＋2ax2x2(x2＋2)2，

因为f(x)在[1,1]上是增函数，所以当x∈[1,1]时，f′(x)≥0恒成立，

令φ(x)＝x2ax2，即x2ax2≤0恒成立

所以A＝{a|1≤a≤1}

(2)由f(x)＝1x得x2ax2＝0

设x1，x2是方程x2ax2＝0的两个根，所以x1＋x2＝a，x1x2＝2

从而|x1x2|＝(x1＋x2)24x1x2＝a2＋8，

因为a∈[1,1]，所以a2＋8≤3，即|x1x2|max＝3

不等式对任意a∈A及t∈[1,1]不等式恒成立，即m2＋tm2≥0恒成立

设g(t)＝m2＋tm2＝mt＋m22，则

解得m≥2或m≤2

故m的取值范围是(∞，2]∪[2，＋∞)

【点拨】对于在给定区间上恒成立的不等式问题，通常可以转化为给定区间上的函数最大值(最小值)大于零(或小于零)，亦可分离变量或者利用数形结合的方法，分离变量和数形结合更加简单明了

【变式训练2】设a，b＞0，且ab＝1，不等式aa2＋1＋bb2＋1≤λ恒成立，则λ的取值范围是

【解析】[1，＋∞)因为ab＝1，所以aa2＋1＋bb2＋1＝2a＋b≤22ab＝1，所以λ≥1

题型三不等式在实际问题中的应用

【例3】某森林出现火灾，火势正以100m2/分钟的速度顺风蔓延，消防站接到报警立即派消防队员前去，在火灾发生后5分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人灭火

50m2/分钟，所消耗的灭火材料，劳务津贴等费用为人均125元/分钟，另附加每次救火所耗损的车辆，器械和装备等费用人均100元，而烧毁森林的损失费60元/m2，问应该派多少消防队员前去救火才能使总损失最少？

【解析】设派x名消防队员前去救火，用t分钟将火扑灭，总损失为y，则

t＝5×10050x100＝10x2，

y＝灭火劳务津贴＋车辆器械装备费＋森林损失费

＝125xt＋100x＋60(500＋100t)

＝125x×10x2＋100x＋30000＋60000x2

＝100(x2)＋62500x2＋31450

≥2100(x2)?62500x2＋31450＝36450，

当且仅当100(x2)＝62500x2，即x＝27时，y有最小值36450，故应派27人前去救火才能使总损失最少，最少损失36450元

【点拨】本题需要把实际问题抽象为数学问题，建立不等式模型，利用基本不等式求最值，基本不等式是历年高考考查的重要内容

【变式训练3】某学校拟建一块周长为400m的操场，如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？

【解析】设中间矩形区域的长，宽分别为xm，ym，中间的矩形区域面积为S，

则半圆的周长为πy2，

因为操场周长为400，所以2x＋2×πy2＝400，

即2x＋πy＝400(0＜x＜200,0＜y＜400π)，

所以S＝xy＝12π?(2x)?(πy)≤12π?2x＋πy22＝20000π，

由解得

所以当且仅当时等号成立，

即把矩形的长和宽分别设计为100m和200πm时，矩形区域面积最大

总结提高

1不等式应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围，或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用基本不等式求最值问题

不等式的综合题主要是不等式与函数解析几何数列三角