安徽省寿县安丰高级中学2024届高考数学一轮复习 第三章 基本不等式及应用导学案 新人教版必修5.doc

基本不等式及应用

典例精析

题型一利用基本不等式比较大小

【例1】(1)设x，y∈R＋，且xy(x＋y)＝1，则()

Ax＋y≥2(2＋1) Bx＋y≤2(2＋1)

Cx＋y≤2(2＋1)2 Dx＋y≥(2＋1)2

(2)已知a，b∈R＋，则ab，a＋b2，a2＋b22，2aba＋b的大小顺序是

【解析】(1)选A由已知得xy＝1＋(x＋y)，又xy≤(x＋y2)2，所以(x＋y2)2≥1＋(x＋y)

解得x＋y≥2(2＋1)或x＋y≤2(12)

因为x＋y＞0，所以x＋y≥2(2＋1)

(2)由a＋b2≥ab有a＋b≥2ab，即a＋b≥2abab，所以ab≥2aba＋b

又a＋b2＝a2＋2ab＋b24≤2(a2＋b2)4，所以a2＋b22≥a＋b2，

所以a2＋b22≥a＋b2≥ab≥2aba＋b

【点拨】本题(2)中的结论由基本不等式简单推导而来，可作为结论使用

【变式训练1】设a＞b＞c，不等式1ab＋1bc＞λac恒成立，则λ的取值范围是

【解析】(∞，4)因为a＞b＞c，所以ab＞0，bc＞0，ac＞0

而(ac)(1ab＋1bc)＝[(ab)＋(bc)](1ab＋1bc)≥4，所以λ＜4

题型二利用基本不等式求最值

【例2】(1)已知x＜54，则函数y＝4x2＋14x5的最大值为；

(2)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数f′(x)，f′(0)＞0，对任意实数x，有f(x)≥0，则f(1)f′(0)的最小值为()

A3 B52 C2 D32

【解析】(1)因为x＜54，所以54x＞0

所以y＝4x2＋14x5＝(54x＋154x)＋3≤2＋3＝1

当且仅当54x＝154x，即x＝1时，等号成立

所以x＝1时，ymax＝1

(2)选C因为f(x)≥0，所以

所以c≥b24a又f′(x)＝2ax＋b，所以f′(0)＝b＞0，

f(1)f′(0)＝a＋b＋cb＝1＋a＋cb≥1＋4a2＋b24ab≥1＋24a2b24ab＝2，

当且仅当c＝b24a且4a2＝b2时等号成立

【点拨】应用基本不等式求最值时，常见的技巧是“拆或凑”，同时注意“一正二定三相等”这三个条件，避免出现错误

【变式训练2】已知x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，求(a＋b)2cd的取值范围

【解析】由等差数列等比数列的性质得a＋b＝x＋y，

cd＝xy，所以(a＋b)2cd＝(x＋y)2xy＝2＋xy＋yx，

当yx＞0时，(a＋b)2cd≥4；当yx＜0时，(a＋b)2cd≤0，

故(a＋b)2cd的取值范围是(∞，0]∪[4，＋∞)

题型三应用基本不等式解实际应用问题

【例3】某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元

(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少(所购面粉第二天才能使用)；

(2)若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，问该厂是否可以利用此优惠条件？请说明理由

【解析】(1)设该厂x天购买一次面粉，其购买量为6x吨，面粉的保管等其他费用为3[6x＋6(x1)＋…＋6×2＋6×1]＝9x(x＋1)

设平均每天所支付的总费用为y1，则

y1＝1x[9x(x＋1)＋900]＋6×1800＝900x＋9x＋10809≥2＋10809＝10989，

当且仅当9x＝900x，即x＝10时，取等号

即该厂应10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少

(2)若厂家利用此优惠条件，则至少应35天购买一次面粉，设该厂利用此优惠条件后，每x(x≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y2，则

y2＝1x[9x(x＋1)＋900]＋6×1800×09＝900x＋9x＋9729(x≥35)

因为y2′＝9900x2，当x≥35时，y2′＞0

所以y2＝900x＋9x＋9729在[35，＋∞)上是增函数

所以x＝35时，y2取最小值704887

由704887＜10989知，该厂可以利用此优惠条件

【点拨】解决这类应用题，首先要依题意构造出相应的数学模型，并通过适当的变形使所得到的模型符合基本不等式的结构，再求最值当等号不能成立时，常利用函数的单调性来处理

【变式训练3】已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，求S＝2ab4a2b2的最大值

【解析】因为a＞0，b＞0,2a＋b＝1，

所以4a2＋b2＝(2a＋b)24ab＝14ab，

且1＝2a＋b≥22ab，即ab≤24，ab≤