安徽省寿县安丰高级中学高中数学 21平面向量基本定理及坐标表示导学案新人教版必修4.doc

231平面向量的基本定理

232平面向量的正交分解及坐标表示

【学习目标】

1通过探究活动,能推导并理解平面向量基本定理

2掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达

3了解向量的夹角与垂直的概念向量的坐标表示的理解。

【教学重点】平面向量基本定理；

【教学难点】平面向量基本定理的运用，向量的坐标表示的理解。

【教学过程】

自主学习案

一【知识链接】

1向量加法与减法有哪几种几何运算法则？

2怎样理解向量的数乘运算λ？（1）模：|λ|=|λ|||；（2）方向：λ0时λ与方向相同；λ0时λ与方向相反；λ=0时λ=3向量共线定理：向量与非零向量共线则：有且只有一个非零实数λ，使=λ二【新课导入】（预习教材P93P96面）

情景展示：在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算而且力是可以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和将这种力的分解拓展到向量中来,就会形成一个新的数学理论

三【自主探究】

探究（一）：平面向量的基本定理

探究1：给定平面内任意两个不共线的非零向量，请你作出向量=3+2=2

探究2：由探究1可知可以用平面内任意两个不共线的非零向量来表示向量,那么平面内的任一向量是否都可以用形如λ1+λ2的向量表示呢?

结论：由上述过程可以发现,平面内任一向量都可以由这个平面内，当确定后,任意一个向量都可以由这两个向量量化。

平面向量的基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量,有且只有一对实数λ1λ2,使=λ1+λ2

【定理解读】

1必须是的向量，叫做。

2λ1，λ2是被，，的数量；

3基底不唯一,关键是不共线;

4由定理可将任一向量在给出基底的条件下进行分解;

5基底给定时,分解形式唯一

6λ1=0时；λ2=0时；λ1=0λ2=0时。

平面向量的基本定理的实质：向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的。这个定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，科选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归。

探究（二）：平面向量的坐标表示

探究3：平面中的任意两个非零向量之间存在夹角吗？若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗？

1非零向量的夹角的定义：。

当=0o时，当=90o时，记做

当=180o时，

2两非零向量的夹角的范围：在区间[0°,180°]内

探究4：阅读课本：p95下半内容，回答问题

（1）对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？

1正交分解：把向量分解为两个互相垂直的向量。

2在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对实数表示，

3每一个向量可否也用一对实数来表示？

（2）向量的坐标表示的定义：

分别选取与轴轴方向相同的向量，作为，

对于任一向量，，，实数对叫，记作

其中叫，叫。

说明：

（1）对于，有且仅有一对实数与之对应；

（2）相等的向量的坐标；

（3）（，），（，），；

（4）直角坐标系中点A向量有序数（x,y）有什么关系？

从原点引出的向量的坐标就是。

平面向量的坐标表示及其意义：在平面直角体系中，每一个向量可用一个有序实数对唯一表示，可以把几何问题代数化，把向量问题转化为数量问题

合作探究案

【课内探究】

【练1】如图平行四边形ABCD的两条对角线交于点M，且=，=，

用，表示，，和

【练2】用向量证明三角形中位线定理

【练3】如图，用基底i，j分别表示向量abcd,并求出它们的坐标

【点评】：巩固平面向量坐标表示的定义；注意基底的特殊条件

【当堂检测】

1下面三种说法:①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底;②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的