山东省乐陵中学2024届高三数学 第17周 随机变量的数字特征正态分布学案.doc

山东省乐陵**中学2024届高三数学第17周随机变量的数字特征正态分布学案

【学习目标】1理解取有限个值的离散型随机变量均值方差的概念2能计算简单离散型随机变量的均值方差，并能解决一些实际问题3利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义

【重点难点】能计算简单离散型随机变量的均值方差，并能解决一些实际问题

【知识梳理】1离散型随机变量的数学期望与方差

设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，…，xn，这些值对应的概率是p1，p2，…，pn

(1)数学期望：E(X)＝_______________________叫做离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望)

(2)方差：称D(X)＝_______________________叫做这个离散型随机变量X的方差，其算术平方根eq\r(D?X?)叫做离散性随机变量X的标准差

2二点分布与二项分布超几何分布的均值方差

均值

方差

随机变量X服从二点分布

E(X)＝p

D(X)＝p(1p)

X～B(n，p)

E(X)＝np

D(X)＝np(1p)

X服从参数为N，M，n的超几何分布

E(X)＝eq\f(nM,N)

3正态分布(1)正态曲线的定义：正态变量概率密度曲线的函数表达式为：f(x)＝_________，x∈R，其中实数μ，σ是参数，且σ＞0，∞＜μ＜＋∞正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线

(2)正态曲线的性质：①曲线位于x轴上方，并且关于______对称；②曲线在x＝μ时处于最高点，并由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，呈现“_________________________；

③曲线的形状由σ确定σ越大，曲线越“_____”σ_____，曲线越“瘦高”

(3)正态总体三个基本概率值

P(μσX≤μ＋σ)＝06826，P(μ2σX≤μ＋2σ)＝09544，P(μ3σX≤μ＋3σ)＝09974

【自我检测】1(固基升华)判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)期望是算术平均数概念的推广，与概率无关()

(2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量()

(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小()

(4)在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分如果某运动员罚球命中的概率为07，那么他罚球1次的得分X的均值是07()

2设随机变量X～B(8，p)，且D(X)＝128，则概率p的值是____A02B08

3(2024·广东高考)已知离散型随机变量X的分布列为

X

1

2

3

P

eq\f(3,5)

eq\f(3,10)

eq\f(1,10)

则X的数学期望E(X)＝()Aeq\f(3,2)B2Ceq\f(5,2)D3

4已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝084，则P(ξ＜0)＝___________

5有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3件，若X表示取到次品的次数，则D(X)＝________

【合作探究】考向1离散型随机变量的均值与方差

【例1】(2024·浙江高考)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分

(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；

(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数若Eη＝eq\f(5,3)，Dη＝eq\f(5,9)，求a∶b∶c

变式训练1(2024·无锡调研)如图，从A1(1,0,0)，A2(2,0,0)，B1(0，1,0)，B2(0,2,0)，C1(0,0,1)，C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V＝0)

(1)求V＝0的概率；

(2)求V的分布列及数学期望E(V)

变式训练2某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛，每场均决出胜负，设这支篮球队与其他篮球队比赛胜场的事件是的，并且胜场的概率是eq\f(1,3)

(1)求这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率；

(2)求这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场的概率；

(3)求这支篮球队在6场比赛中胜场数的数学期望和方差

考向3正态分布下的概率

【例3】已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝08，则P(0＜ξ＜2)＝()