2025年上海市普通高校春季招生统一文化考试数学仿真模拟卷2含详解.docx

2025年上海市普通高校春季招生统一文化考试

数学仿真模拟卷02

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

一,填空题（本大题共12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）

1．已知,,,．若,则．

2．若,则．

3．不等式的解集为．

4．圆的半径是．

5．已知事件的对立事件为,若（A）,则．

6．已知,,且,则的最小值为．

7．某校抽取100名学生测身高,其中身高最大值为,最小值为,根据身高数据绘制频率组距分布直方图,组距为5,且第一组下限为153.5,则组数为．

8．已知,则（用数字作答）．

9．定义符号函数,则方程的解集为．

10．已知函数,其中,3,,,2,,从中随机抽取1个,则它在,上是增函数的概率为．

11．设复数满足,且使得关于的方程有实根,则这样的复数的和为．

12．已知,,为空间中三组单位向量,且,,与夹角为,点为空间任意一点,且,满足,则最大值为．

二,选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分)

13．设函数,则下列函数中为奇函数的是

A． B． C． D．

14．甲,乙两机床同时加工直径为的零件,为检验质量,从它们生产的零件中随机抽取6件,其测量数据的条形统计图如下,则

A．甲的数据的平均数大于乙的数据的平均数

B．甲的数据的中位数大于乙的数据的中位数

C．甲的数据的方差大于乙的数据的方差

D．甲的数据的极差小于乙的数据的极差

15．如图所示,在正方体中,是平面的中心,,,分别是,,的中点,则下列说法正确的是

A．,且与平行 B．,且与平行

C．,且与异面 D．,且与异面

16．已知数列的前项和为,,,成等差数列,则下列说法正确的是

A．如果数列成等差数列,则,,成等比数列

B．如果数列不成等差数列,则,,不成等比数列

C．如果数列成等比数列,则,,成等差数列

D．如果数列不成等比数列,则,,不成等差数列

三,解答题（本大题共5题,共14+14+14+18+18=78分）

17．如图,在三棱锥中,平面,,,,点满足平面,且在平面内的射影恰为的重心．

（1）求直线与平面所成角的正弦值.

（2）求点到平面的距离．

18．在中,．

（Ⅰ）求的值.

（Ⅱ）求的值及的面积．

19．2020年,全世界范围内都受到“新冠”疫情的影响．了解某些细菌,病毒的生存条件,繁殖习性等对于预防疾病的传播,保护环境有极其要的意义．某科研团队在培养基中放入一定量某种细菌进行研究,发现其蔓延速度越来越快,经过2分钟菌落的覆盖面积为,经过3分钟覆盖面积为,现菌落覆盖面积（单位：与经过时间（单位：的关系有两个函数模型与可供选择．（参考数据：,,,,,．

（1）试判断哪个函数模型更合适,说明理由,并求出该模型的解析式.

（2）在理想状态下,至少经过多久培养基中菌落面积能超过？（计算结果保留到整数）

20．椭圆上顶点为,左焦点为,中心为．已知为轴上动点,直线与椭圆交于另一点,而为定点,坐标为,直线与轴交于点．当与重合时,有,且．

（1）求椭圆的标准方程.

（2）设的横坐标为,当时,求面积的最大值．

21．设函数,,其中,,,若对任意,均有,则称函数是函数的“控制函数”,且对所有的函数取最小值定义为．

（1）若,,试问是否为的“控制函数”.

（2）若,使得直线是曲线在处的切线,求证：函数是为函数的“控制函数”,并求的值.

（3）若曲线在处的切线过点,且,,求证：当且仅当或时,（c）（c）．

2025年上海市普通高校春季招生统一文化考试

数学仿真模拟卷01

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

一,填空题（本大题共12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）

1．已知,,,．若,则2．

【分析】根据已知条件,结合集合相等的定义,即可求解．

【解答】解：,,,,.

则．

故答案为：2．

【点评】本题主要考查集合的相等,属于基础题．

2．若,则．

【分析】根据平面向量的线性运算与坐标表示,计算即可．

【解答】解：因为.

所以．

故答案为：．

【点评】本题考查了平面向量的线性运算与坐标表示应用问题,是基础题．

3．不等式的解集为,．

【分析】由可得,从而求出的范围即可．

【解答】解：由可得,.

所以.

所以.

即不等式的解集为,.

故答案为：,．

【点评】本题主要考查了绝对值不等式的解法,属于基础题．

4．圆的半径是．

【分析】根据题意,将圆的方程变形为标准方程,由此分析可得答案．

【解答】解：根据题意,圆即圆.

其半径.

故答案为：．

【点评】本题考查圆的标准方程,注意圆标准方程的形式,属于基础题．

5．已知事件的对立事件为,若（A）,则0.5