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选修1-1导数及其应用章末知识点与例题复习

一、根底知识点

1、平均变化率:〔物理中对应平均速度,几何意义表示过点〔,〕与点〔,〕的直线的斜率〕

2、导数的概念

(1)如果当时,有极限,就说函数在点处存在导数,并将这个极限叫做函数在点处的导数(或变化率),记作或,即的几何意义是曲线在点处的;瞬时速度就是位移函数对的导数;加速度就是速度函数对______________的导数.

(2)如果函数在开区间内的每一点都可导,其导数值在内构成一个新函数,这个函数叫做在开区间内的导函数,记作或.

3、几种常见函数的导数

(1)(C为常数);(2);

(3);(4);

(5);(6);

(7);(8).

4、可导函数的四那么运算法那么

法那么1(口诀:和与差的导数等于导数的和与差).

法那么2.(口诀:前导后不导,后导前不导,中间是正号)

法那么3

(口诀:分母平方要记牢,上导下不导,下导上不导,中间是负号)

5.函数的单调性

〔1〕函数在某个区间内,假设,那么为;

假设,那么为;假设,那么为。

〔2〕假设函数在某个区间[a,b]内单调递增,那么;

假设函数在某个区间[a,b]内单调递减,那么;

6.如果一个函数在某个区间内的绝对值,那么函数在这个范围内变化,这时函数的图象就越“”。

7.〔1〕函数极值的概念

函数在点处的函数值比它在点附近其它点的函数值都小,;而且在点附近的左侧,右侧,那么点叫做函数的,叫做函数的.

函数在点处的函数值比它在点附近其它点的函数值都大,;而且在点附近的左侧,右侧,那么点叫做函数的,叫做函数的.

极小值点与极大值点统称为,极小值与极大值统称为.

〔2〕求函数极值的步骤:

=1\*GB3①;

=2\*GB3②;

=3\*GB3③。

8.函数的最大值与最小值

在闭区间上连续,内可导,在闭区间上求最大值与最小值的步骤是:

〔1〕;

〔2〕。

9.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤:

〔1〕分析实际问题中各个量之间的关系,建立实际问题的,写出实际问题中,根据实际问题确定。

〔2〕求函数的,解方程,得出定义域内的实根,确定。

〔3〕比拟函数在和的函数值的大小,获得所求函数的最大〔小〕值。

〔4〕复原到原实际问题中作答。

二、例题解析

例1、某质点沿直线运动,运动规律为,求:

〔1〕在[2,3]这段时间内的平均速度;

〔2〕在t=2时刻的瞬时速度。

例2、设函数在处可导,且,求;

例3、求以下函数的导数:

〔1〕

〔2〕

〔3〕

〔4〕

例4、曲线.

〔1〕求曲线在点处的切线方程;

〔2〕求曲线过点的切线方程。

例5、求以下函数的单调区间:

〔1〕

〔2〕

例6、函数,

(1)函数的单调区间;

(2)求函数图象在与轴交点得的切线与两坐标轴所围成的图形的面积;

(3)判断方程解的情况().

解:(1),

因为函数的定义域为,令,解得:;令,解得且,所以函数的单调递增区间是,单调递减区间是.

O321yx(2)与轴的交点设为,那么

O

3

2

1

y

x

由于,

切线的斜率为.

切线方程为.

令,得,令,得.

所以所围三角形的面积为.

(3)方程等价于,在平面直角坐标系中画出函数的图象,如右图所示:

所以当时,方程有2个根;当时,方程有1个根;当时,方程没有根;当时,方程有1个根.

例7、函数,x=1和x=-1为它的极值点。

〔1〕求a、b的值;

〔2〕求f(x)的极大值和极小值。

例8、函数

假设在区间[-2,2].上的最大值为20.

(1)求实数的值;

(2)是否存在实数,使得对于,总存在,都有成立?假设存在,求出实数的取值范围;假设不存在,说明理由.

解:〔1〕令,解得或

所以函数的单调递减区间为递增区间是.

又因为,

所以

因为在上,所以在单调递增,

又由于在上单调递减,因此和分别是在区间上的最大值和最小值.于是有,解得

(2)由(1)知因此

即函数在区间上的值域为[,20],由于,所以当时,,

因此当时,为减函数,从而当时,.

又因为,即当时

假设对于,总存在,都有,那么应有,即,解得:但由于,

故不存

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