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专题2.3二次函数与一元二次方程、不等式
TOC\o1-3\t正文,1\h
【考点1:三个“二次”之间的关系】 1
【考点2:解不含参的一元二次不等式】 5
【考点3:解含参的一元二次不等式】 6
【考点4:一元二次不等式存在性或恒成立问题】 9
【考点5:利用一元二次不等式解决实际问题】 11
【考点1:三个“二次”之间的关系】
【知识点:三个“二次”之间的关系】
判别式Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象
一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根
有两个相异实根x1,x2(x1<x2)
有两个相等实根x1=x2=-eq\f(b,2a)
没有实数根
一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集
{x|xx1或xx2}
R
一元二次不等式ax2+bx+c<0(a>0)的解集
{x|x1<x<x2}
1.(2022春?甘孜州期末)若不等式ax2+bx﹣2<0?的解集为{x|﹣2<x<1}?,则a+b?=()
A.﹣2? B.0 C.1 D.2
【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系解之.
【解答】解:∵不等式ax2+bx﹣2<0?的解集为{x|﹣2<x<1},∴方程ax2+bx﹣2=0根为﹣2、1,
则?ba=?1?2a=?2,解得,a
故选:D.
2.(2022春?让胡路区校级期末)若不等式ax2+bx+2>0的解集是{x|?12<x<13
A.(?∞,?16) B.(?∞,16)
【分析】利用根于系数的关系先求出a,b,再解不等式即可.
【解答】解:不等式ax2+bx+2>0的解集是{x|?12<x<
解得a=?12b=?2
则解集为{x|x?16
故选:A.
3.(2021秋?威宁县期末)已知不等式ax2+bx+1>0的解集为{x|?12<x<13
A.﹣3,﹣6 B.﹣6,﹣1 C.6,3 D.3,6
【分析】由题意,利用一元二次不等式的解法,韦达定理,求得a、b的值.
【解答】解:不等式ax2+bx+1>0的解集为{x|?12<x<13},则?12
∴?12+13=?b
故选:B.
4.(2022春?双鸭山期末)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|?2<x<4},则不等式cx2﹣bx
A.{x|x<?12或x>14} B.{x|?
C.{x|x<?14或x>12} D.{x|
【分析】由已知结合二次方程与二次不等式的关系可得a,b,c的关系及范围,然后结合二次不等式的求法即可求解.
【解答】解:由题意得a<0?2+4=?
所以b=﹣2a>0,c=﹣8a>0,
所以不等式cx2﹣bx+a=﹣8ax2+2ax+a<0,
即8x2﹣2x﹣1<0,
解得?14<
故选:B.
5.(2021秋?许昌期末)已知{x|a<x<b}是关于x的一元二次不等式nx2﹣2x+1<0的解集,则4a+3b的最小值为()
A.52+26 B.5+26 C.
【分析】根据不等式与对应方程的关系,结合根与系数的关系,得出a与b的关系式,再利用基本不等式求4a+3b的最小值.
【解答】解:因为{x|a<x<b}是不等式nx2﹣2x+1<0的解集,
所以a,b是方程nx2﹣2x+1=0的两个实数根且n>0,
所以a+b=2n,ab
所以a+bab=1b+
所以4a+3b=12?(4a+3b)?(
=12?(7+3ba+4ab)≥12(7+23b
当且仅当3b=2a时“=”成立;
所以4a+3b的最小值为72+2
故选:C.
6.(2021秋?金水区校级期末)已知关于x的不等式ax2﹣bx+c<0的解集为{x|?13<x<12},则不等式bx
A.{x|x>3或x<﹣2} B.{x|﹣2<x<3} C.{x|x>2或x<﹣3} D.{x|﹣3<x<2}
【分析】根据根与系数的关系得到a,b,c的关系,解不等式,求出不等式的解集即可.
【解答】解:根据题意,因为不等式ax2﹣bx+c<0的解集为{x|?13<
所以?13和12是方程ax2﹣bx+c
则有ba=?13+12
不等式bx2+cx﹣a>0即ax2﹣ax﹣6a>0,(a>0),
∴x2﹣x﹣6>0,
∴(x﹣3)(x+2)>0,
解得:x>3或x<﹣2,
故不等式的解集是{x|x>3或x<﹣2},
故选:A.
7.(2021秋?河南期末)已知方程x2+px+q=0的两根为﹣3和5,则不等式x2+px+q>0的解集是{x|x<﹣3或x>5}.
【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系,写出该不等式的解集.
【解答】解:因为方程x2+px+q=0的两根为﹣3和5,
所以不等式x2+px+q>0的解集是{x|x<﹣3或x>5}.
故答案为:{x|x<﹣3或x>
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