广东省廉江市第三中学2024届高考数学必修内容复习 高考中常用函数模型归纳及应用.doc

广东省廉江市第三中学2024届高考数学必修内容复习高考中常用函数模型归纳及应用

高中数学中，函数是重点内容，函数思想贯穿于数学的每一个领域，函数图象是数形结合的常用工具。复杂的函数问题也是有简单的基本初等函数组合而成，熟练掌握常见的函数模型对解决函数综合问题大有裨益。高考试题中，函数问题是“大块头”，各套试题所占比重在30%以上。现归纳常用的函数模型及其常见应用如下：

常数函数y=a

判断函数奇偶性最常用的模型，a=0时，既是奇函数，又是偶函数，a≠0时只是偶函数。关于方程解的个数问题时常用。

例1已知x∈(0,],关于方程2sin(x+)=a有两个不同的实数解，则实数a的取植范围是（）

A[2，2]B[,2]C(,2]D(,2)

解析；令y=2sin(x+),y=a

画出函数y=2sin(x+)，y=a图象如图所示，若方程有两个不同的解，则两个函数图象有两个不同的交点，由图象知(,2)，选D

一次函数y=kx+b(k≠0)

函数图象是一条直线，易画易分析性质变化。常用于数形结合解决问题，及利用“变元”或“换元”化归为一次函数问题。有定义域限制时，要考虑区间的端点值。

例2不等式2x+1≤m(x1)对一切│m│≤2恒成立，则x的范围是（）

A2≤x≤2B≤x≤0C0≤x≤D≤x≤

解析：不等式可化为m(x1)2x+1≥0

设f(m)=m(x1)2x+1

若x=1,f(m)=3＜0(舍)则x≠1

则f(m)是关于m的一次函数，要使不等式在│m│≤2条件下恒成立，只需，解之可得答案D

二次函数y=ax+bx+c(a≠0)

二次函数是应用最广泛的的函数，是连接一元二次不等式和一元二次方程的纽带。很多问题都可以化归和转化成二次函数问题。比如有关三次函数的最值问题，因其导数是二次函数，最后的落脚点仍是二次函数问题。

例3（1）若关于x的方程x+ax+a1=0有一个正根和一个负根，则a的取值范围是（）

解析：令f(x)=x+ax+a1

由题意得f(0)=a1＜0,即1＜a＜1即可。

一元二次方程的根分布问题可借助二次函数图象解决，通常考虑二次函数的开口方向，判别式对称轴与根的位置关系，端点函数值四个方面。也可借助韦达定理。

例4函数f(x)=x4x4在闭区间[t,t+1]t∈R上的最小值记为g(t),试求g(t)的表达式。

解：f(x)=（x2）8

当t＞2时，f(x)在[t,t+1]上是增函数

∴g(t)=f(t)=t4t4

当t≤2≤t+1即1≤t≤2时，

g(t)=f(2)=8

当t+1＜2即t＜1时

f(x)在[t,t+1]上是减函数

g(t)=f(t+1)=t2t7,从而g(t)=

评：二次函数在闭区间上的最值问题是历年高考的热点，它的对称轴能确定二次函数的单调区间，二次函数与对数函数的综合性题目是常考的交汇点之一。该题中，对称轴x=2确定，而区间[t,t+1]不确定即“定轴不定区间”，二者的位置关系有三种情况。类似问题还有“定区间不定轴”“不定轴不定区间”问题，但方法都一样，“讨论对称轴和区间的位置关系”。

例5①如果函数y=a+2a1(a0且a≠1)在区间[1，1]上的最大值是14，求a的值。

②f(x)=sinx+sinx+a,若1≤f(x)≤对一切x∈R恒成立,求a的取值范围。

以上两个问题都可以利用换元法转化为二次函数来解决，换元过程中注意──等价性，即保证“旧元”和“新元”取值范围的统一。解题过程略。

答案：①a=3或②3≤a≤4

例6已知a,b为常数，且a0,f(x)=x+(1a)x3ax+b

(1)若函数f(x)的极大值是2，求a和b的关系式

（2）若函数f(x)的极大值是2，且在区间[0，3]上的最小值是，求a和b的值。

解答过程略。答案：(1)3a+2b=3（2）a=2,b=

绝对值函数y=│x│

例7画出函数y=︱︱︱x︱1︱1│

按照以下的变换的方式即可：y=│x│y=│x│1y=︱︱x︱1︱

y=︱︱x︱1︱1y=︱︱︱x︱1︱1│︳，答案如上图所示。

例8函数y=a│x│和y=x+a图象恰有两个交点，则a的取值范围是（）

A(1,+∞)B(1,1)C(∞,1]∪[1,+∞)D(∞,1)∪(1,+∞)

解析：（ⅰ）若a=0,y=a│x│=0与y=x只有一个交点；

(ⅱ)若0＜a≤1,则y=a│x│和y=x+a只有一个交点；

（ⅲ）若a＞1,则y=a│x│和y=x+a有两个交点；

（ⅳ）若1≤a＜0,则y=a│x│和y=x+a只有一个交点；