初中数学几何知识点总结之棱锥的性质.pptx

初中数学几何知识点总结之棱锥的性质

目录

棱锥基本概念与性质

棱锥的表面积与体积

特殊类型棱锥及其性质

棱锥中线段和角度关系

空间向量在棱锥中应用

拓展延伸：从棱锥到更广泛几何体

01

棱锥基本概念与性质

Part

棱锥是由一个多边形和若干个与这个多边形共面的三角形所围成的多面体。

定义

根据底面多边形的边数，棱锥可分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等。

分类

棱锥定义及分类

底面、侧面和顶角

底面

棱锥底部的多边形称为底面。

侧面

棱锥中除底面外的各个面称为侧面，侧面都是三角形。

顶角

棱锥的顶点和底面任意一点所连成的线段叫做棱锥的顶角。

STEP01

STEP02

STEP03

高、斜高与母线

高

棱锥侧面上的高叫做棱锥的斜高。

斜高

母线

棱锥侧面上的任意一条边都叫做棱锥的母线。

棱锥的顶点到底面的垂线段叫做棱锥的高。

截面性质

若截面平行于底面，则截面与底面相似，且各对应边成比例。

无论截面如何，其面积总是小于或等于底面的面积。

若截面不平行于底面，则截面可能是一个三角形、四边形等多边形，其形状和大小与截面的位置和角度有关。

截面定义：用一个平面去截一个棱锥，截面与棱锥的表面相交，得到的交线围成的平面图形叫做棱锥的截面。

棱锥的截面性质

02

棱锥的表面积与体积

Part

表面积计算公式

棱锥的侧面积等于各侧面三角形的面积之和。

棱锥的全面积等于它的侧面积加上它的底面积。

如果棱锥的底面周长为c，斜高为h，那么它的侧面积是S=1/2×c×h。

体积计算公式

如果棱锥的底面积是S，高是h，那么它的体积V=1/3×S×h。

棱锥的底面与棱柱的底面相同，且棱锥的各侧面都是三角形。

棱柱与棱锥的关系

当棱锥的底面是正多边形，且各侧面都是等腰三角形时，该棱锥与圆锥具有相同的底面和高的条件下，其体积是圆锥体积的(n/360)倍，其中n是多边形的边数。

棱锥与圆锥的关系

与其他几何体关系

例题1

已知正四棱锥的底面边长为a，侧棱长为l，求它的全面积。

解析

正四棱锥的全面积等于它的侧面积加上它的底面积。侧面积可以通过四个等腰三角形的面积之和来计算，而底面积是一个正方形的面积。因此，全面积S=4×(1/2×a×sqrt(l^2-(a/2)^2))+a^2。

例题2

已知正三棱锥的底面边长为a，高为h，求它的体积。

解析

正三棱锥的体积可以通过公式V=1/3×S×h来计算，其中S是底面积。由于底面是一个等边三角形，其面积可以通过海伦公式或其他方法计算。因此，体积V=1/3×(sqrt(3)/4×a^2)×h。

01

02

03

04

典型例题解析

03

特殊类型棱锥及其性质

Part

正棱锥定义及特点

底面为正多边形，侧面为等腰三角形。

正棱锥的侧面构成等腰三角形，但侧面之间不一定构成等边三角形。

各侧面等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高。

侧面与底面所成的锐角叫做正棱锥的侧面角。

1

4

2

3

正四面体性质探讨

正四面体的每一个面都是正三角形。

正四面体是三组对棱都垂直的等面四面体。

正四面体是特殊的正三棱锥，而正三棱锥一般都不是正四面体。

正四面体的四个旁切球半径均相等，等于内切球半径的2倍。

STEP01

STEP02

STEP03

等腰三角形为底面时性质

等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。

等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角与顶角的一半互余。

等腰三角形的两个底角相等。

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

在直角三角形中，两个锐角互余。

直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。

直角三角形为底面时性质

04

棱锥中线段和角度关系

Part

在棱锥中，从一个顶点出发的中线（连接该顶点和对面重心的线段）平分对面。

中线定理

中线推论1

中线推论2

棱锥的中线与其所在平面截棱锥所得的截面三角形的中线重合。

棱锥的中线长度是对应底边长度的两倍与对应高之比。

03

02

01

中线定理及其推论

在任意三角形中，一边的平方等于其他两边平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

通过余弦定理可以求解棱锥的侧面与底面所成的二面角，以及侧面上的高。

余弦定理在棱锥中应用

在棱锥中的应用

余弦定理

塞瓦尔达诺定理

如果棱锥的底面是一个正多边形，且各侧面都是等腰三角形，则棱锥的顶点、重心、外心和内心都位于同一条直线上，这条直线称为棱锥的轴。

应用场景

该定理常用于解决正棱锥的相关问题，如求解正棱锥的外接球和内切球半径等。

塞瓦尔达诺定理介绍

已知正四棱锥的底面边长为a，侧棱长为l，求该四棱锥的全面积。

例题1

首先根据正四棱锥的性质求出斜高h，然后利用三角形面积公式