河北省承德市2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷.docx

承德市高三年级期中考试

数学

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：高考全部内容（不含圆锥曲线、统计、概率）.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1集合，，则（）

A. B. C. D.

2.如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是（）

A. B.

C. D.

3.设是无穷数列，记，则“是等比数列”是“是等比数列”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知平面向量，满足，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（）

A30° B.60° C.120° D.150°

5.在棱长为2的正四面体中，为棱AD上的动点，当最小时，三棱锥的体积为（）

A. B. C. D.

6.已知函数，若正实数a，b满足，则的最小值是（）

A. B. C. D.

7.如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为，．若，则的值为（）

A. B. C. D.

8.设为定义在整数集上的函数，，，，对任意的整数x，y均有，则（）

A.0 B.1012 C.2024 D.4048

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知为等边三角形，直线，的斜率分别为，，则（）

A.直线的斜率为 B.边上的高所在直线的斜率为C.边上高所在直线的倾斜角为 D.边上的高所在直线的倾斜角为

10.设函数，，则下列结论正确的是（）

A.当时，在点处的切线方程为

B.当时，有三个零点

C.若有两个极值点，则

D.若，则正实数取值范围为

11.如图，在棱长为2的正方体中，是的中点，（与点不重合）是平面内的动点，下列说法正确的是（）

A.平面平面

B.若，则动点的轨迹为抛物线的一部分

C.当时，过点作该正方体的外接球的截面，其截面面积的最小值为

D.线段AD绕旋转一周，在旋转过程中，AD与所成角的正切值的取值范围为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.将扇形纸壳OCD剪掉扇形OAB后得到扇环，，，如图1，用扇环制成一个圆台的侧面，如图2，则该圆台的高为________.

13.已知函数的图象的一条对称轴为直线，则函数的零点的最小正值为___________．

14.过曲线C上一点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，若，则曲线C的方程为___________．

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知圆经过点，，且圆心在轴上.

（1）求圆的标准方程；

（2）设直线与圆交于，两点，且是直角三角形，求值.

16.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，交AC于点，且．

（1）若，求的面积；

（2）求的最小值．

17.如图，四边形为梯形，，，四边形为矩形，且平面，，为FB的中点．

（1）证明：平面．

（2）在线段FD（不含端点）上是否存在一点M，使得直线BM与平面所成角的正弦值为？若存在，求出BM的长；若不存在，说明理由．

18.已知函数．（1）当时，若在上单调递增，求的取值范围；

（2）若且在上有两个极值点，求的极大值与极小值之和的取值范围．

19.复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入的，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐被数学家接受．形如的数称为复数的代数形式，而任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作argz．复数叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．

请根据所学知识，回答下列问题：

（1）试将写成三角形式（辐角取主值）．

（2）类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数．已知复变函数，，．

①当时，解关于的方程；

②当时，若存在实部不为0，且虚部