《复数的乘法与除法》同步学案 (1).docVIP

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《复数的乘法与除法》同步学案

问题情境导入

加法是一种累积,使人从小到大,从弱到强,从单纯走向复杂；减法是一种删减,在经过一定的积累以后,删去多余的枝枝叶叶,以化解心灵的重负；乘法是一种跨越,是实现人生跨越的秘诀；除法是一种卸载,一切不道德的尘埃,必须依靠理性来及时卸载,以剔除心灵的污秽,这就是人生的四则运算.

我们刚刚学习完复数的加减运算,它的乘除运算又是怎样的呢？

新课自主学习

自学导引

1.复数的乘法及其运算规律.

（1）复数的乘法.

已知,则_____.

（2）复数乘法的运算律：

对任意,有

2.复数的正整数指数幂运算性质及i的乘方运算规律.

（1）复数的正整数指数幂运算性质.

对复数和正整数m,n,有：_____,_____,_____；

（2）i的乘方运算规律.

一般地,对任意自然数n,有

_____,_____,_____,_____.

3.互为共轭复数的两个复数的乘积是实数,等于这个复数（或其共轭复数）_____,即若,则_____.

4.复数的除法.

_____（,且）.

答案

1.（1）

（2）

2.（1）

（2）1

3.模的平方

预习测评

1.（）

A.

B.

C.

D.

2.已知i是虚数单位,则（）

A.

B.

C.

D.

3.已知复数,则的值为（）

A.5

B.

C.3

D.

4.设（i是虚数单位）,则（）

A.

B.

C.

D.

5._____.

6._____.

答案

1.

答案：B

解析：.

2.

答案：D

解析：.

3.

答案：A

解析：.

4.

答案：C

解析：.

5.

答案：1

解析：.

6.

答案：

解析：.

新知合作探究

探究点1复数的乘法

知识详解

1.复数的乘法：已知,则.

2.复数的乘法运算律：

对任意,有

（1）交换律：；

（2）结合律：；

（3）乘法对加法的分配律：.

典例探究

例1（1）若复数在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是（）

A.

B.

C.

D.(?1,+∞)

（2）计算：

①；

②；

③.

解析（1）,对应的点在第二象限,解得.（2）按照复数的乘法法则进行计算即可.

答案（1）B

（2）①；

②；

③.

方法归纳1.复数乘法运算的一般方法.

复数的乘法可以按照多项式的乘法法则进行,注意选恰当的乘法公式进行简便运算,例如平方差公式、完全平方公式等.

2.常用公式.

（1）；

（2）

（3）.

变式训练1（1）下列各式的运算结果为纯虚数的是（）

A.

B.

C.

D.

（2）复数,其中i为虚数单位,则z的实部是_____.

答案（1）C（2）5

点拨（1）不是纯虚数.,不是纯虚数C.,是纯虚数.,不是纯虚数.

（2）,的实部是5.

探究点2i的运算性质

知识详解

1.复数的正整数指数幂的运算性质：对复数和正整数m,n,有：

.

2.i的乘方运算规律：,一般地,对任意自然数n,得.

典例探究

例2_____.

解析.

答案

方法归纳1.熟记i的幂值的4个结果,即,当幂指数除以4所得的余数是,3时,相应的幂值分别为.

2.对于??∈??,有.

变式训练2计算：（1）_____；

（2）_____.

答案（1）0（2）

点拨（1）.

（2）.

探究点3共轭复数的性质的巧用

知识详解

互为共轭复数的两个复数的乘积是实数,等于这个复数（或其共轭复数）模的平方.即若,则.

典例探究

例3（1）已知,是虚数单位,若与互为共轭复数,则（）

A.

B.

C.

D.

（2）把复数z的共轭复数记作,已知,求z.

解析（1）与互为共轭复数,,.

（2）设,则,由复数相等的条件列方程可解得.

答案（1）D

（2）设,则,

由已知得,,

由复数相等的条件知,解得,.

方法归纳1.是共轭复数的常用性质.

2.实数的共轭复数是它本身,即,利用此质可以证明一个复数是实数.

3.若且,则z为纯虚数,利用此性质可证明一个复数是纯虚数.

变式训练3已知,为z的共轭复数,若,求z.

答案设,则,

由题意得,

即,则有

解得或或.

探究点4复数的除法

知识详解

对任意的复数和非零复数,规定复数的除法：,即除以一个复数,等于乘这个复数的倒数,因此.

在实际计算时,通常把分子和分母同乘分母的共轭复数,化简后就得到上面的结果；.由此可见,在进行复数除法运算时,实际上是将分母“实数化”.

典例探究

例4（1）（）

A.

B.

C.