解直角三角形及其应用--辅导讲义.docVIP

解直角三角形及其应用

◆课前热身

EABCD150°图1h1.图1是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC

E

A

B

C

D

150°

图1

h

A．m B．4m

C．m D．8m

2.如图2,长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的外表从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是〔〕

α5米AB图3A.B.C.10D.

α

5米

A

B

图3

图2

图2

3.如图3，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为〔〕

BCA图4A.B.C.D.

B

C

A

图4

4.如图4，在中，90°，，，那么以下结论正确的选项是〔〕

A．B．C．D．

5.如图5，在平地上种植树木时，要求株距〔相邻两树间的水平距离〕为4m．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m

A．5mB．6mC．7mD

◆备考兵法

正确地建立解直角三角形的数学模型以及熟悉测量，航海，航空，工程等实际问题中的常用概念是解决这类问题的关键．

注意：〔1〕准确理解几个概念：①仰角，俯角；②坡角；③坡度；④方位角．

〔2〕将实际问题抽象为数学问题的关键是画出符合题意的图形．

〔3〕在一些问题中要根据需要添加辅助线，构造出直角三角形，从而转化为解直角三角形的问题．

◆考点链接

1．解直角三角形的概念：在直角三角形中一些_____________叫做解直角三角形．

2．解直角三角形的类型：

____________；___________________．

3．如图〔1〕解直角三角形的公式：

〔1〕三边关系：__________________．

〔2〕角关系：∠A+∠B＝_____，

〔3〕边角关系：sinA=___，sinB=____，cosA=_______．

cosB=____，tanA=_____，tanB=_____．

4．如图〔2〕仰角是____________,俯角是____________．

5．如图〔3〕方向角：OA：_____，OB：_______，OC：_______，OD：________．

6．如图〔4〕坡度：AB的坡度iAB＝_______，∠α叫_____，tanα＝i＝____．

OA

O

A

B

C

〔图2〕〔图3〕〔图4〕

◆典例精析

例1〔2009年安徽省〕长为m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整成60°角〔如下图〕，那么梯子的顶端沿墙面升高了______m．

【答案】〔约0.64〕.

【解析】涉及知识点有锐角三角函数的应用.4m的梯子、地面和墙高构成了直角三角形，当梯子搭在墙上与地面成45°的角时，梯子的顶端到地面的距离是4×sin45°=2，当梯子搭在墙上与地面成60°的角时，梯子的顶端到地面的距离是4×sin60°=2.那么梯子的顶端沿墙面升高了〔约0.64〕m．

【点评】把立体图形转化为平面图形即直角三角形，利用锐角三角函数或勾股定理解答即可.

例2〔2009年山东临沂〕如图，A，B是公路l〔l为东西走向〕两旁的两个村庄，A村到公路l的距离AC=1km，B村到公路l的距离BD=2km，B村在A村的南偏东45°方向上．

〔1〕求出A，B两村之间的距离；

北东

北

东

B

A

C

D

l

【分析】〔1〕设AB与CD的交点为O，那么三角形AOC和BOD是两个等要直角三角形，根据A、B到公路的距离，利用勾股定理计算AO、BO，进而计算AB的长度.或者以AB为斜边构造直角三角形解答.〔2〕作AB的垂直平分线，与公路l的交点即为所求.

【答案】解：〔1〕方法一：设AB与CD的交点为O，根据题意可得．

和都是等腰直角三角形．

，．

两村的距离为〔km〕．

BA

B

A

C

D

l

N

M

O

P

作法：①分别以点为圆心，以大于的长为

半径作弧，两弧交于两点，

作直线；

②直线交于点，点即为所求．

【点评】〔1〕点到线的距离是垂线短的长，所以图形中就包含了直角三角形，然后利用勾股定理计算便是.此题也可以利用锐角三角函数计算.〔2〕“到线段