2024-2025学年湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高三上学期第二次考试数学试卷含详解.docx

华中师大一附中2024—2025学年度上学期高三年级第二次考试

数学试卷

时限：120分钟满分：150分命题人：周珂黄倩审题人：张丹王文莹

一,选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．

1．已知为虚数单位,,则（????）

A．1 B．2 C． D．

2．已知集合,,则的子集的个数为（????）

A．3 B．4 C．8 D．16

3．设,向量,且,则（????）

A． B． C． D．

4．函数的图象大致是（????）

A． B．

C． D．

5．已知能被9整除,则整数的值可以是（????）

A． B．-7 C．9 D．13

6．已知抛物线的焦点为,准线为为上一点,垂直于点为等边三角形,过的中点作直线,交轴于点,则直线的方程为（????）

A． B．

C． D．

7．已知的内角,,的对边分别为,,,若的面积为,则的最大值为（????）

A． B． C． D．

8．已知函数的图象在区间内恰好有对关于轴对称的点,则的值可以是（????）

A．4 B．5 C．6 D．7

二,选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分．

9．定义在上的函数的值域为,且,则（???）

A． B．

C． D．

10．下列命题正确的是（????）

A．“是第二象限角或第三象限角”,“”,则是的充分不必要条件

B．若为第一象限角,则

C．在中,若,则为锐角三角形

D．已知,且,则

11．已知曲线,则下列结论正确的是（????）

A．随着增大而减小

B．曲线的横坐标取值范围为

C．曲线与直线相交,且交点在第二象限

D．是曲线上任意一点,则的取值范围为

三,填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分．

12．在的展开式中,的系数为．

13．在中,,,依次成等差数列,,的取值范围为．

14．如图,球内切于圆柱,圆柱的高为,为底面圆的一条直径,为圆上任意一点,则平面截球所得截面面积最小值为若为球面和圆柱侧面交线上的一点,则周长的取值范围为．

??

四,解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．

15．如图,已知在正三棱柱中,,且点分别为棱的中点.

??

(1)过点作三棱柱截面交于点,求线段长度.

(2)求平面与平面的夹角的余弦值.

16．在中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,,.

(1)求A的大小：

(2)点D在BC上.

（Ⅰ）当,且时,求AC的长.

（Ⅱ）当,且时,求的面积．

17．从一副扑克牌中挑出4张Q和4张K,将其中2张Q和2张K装在一个不透明的袋中,剩余的2张Q和2张K放在外面．现从袋中随机抽出一张扑克牌,若抽出Q,则把它放回袋中：若抽出K,则该扑克牌不再放回,并将袋外的一张Q放入袋中．如此操作若干次,直到将袋中的K全部置换为Q.

(1)在操作2次后,袋中K的张数记为随机变量X,求X的分布列及数学期望.

(2)记事件“在操作次后,恰好将袋中的全部置换为”为,记．

（ⅰ）在第1次取到的条件下,求总共4次操作恰好完成置换的概率.

（ⅱ）试探究与的递推关系,并说明理由．

18．由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果椭圆的“特征三角形”为,椭圆的“特征三角形”为,若,则称椭圆与“相似”,并将与的相似比称为椭圆与的相似比．已知椭圆与椭圆相似．

(1)求椭圆的离心率.

(2)若椭圆与椭圆的相似比为,设P为上异于其左,右顶点的一点．当时,过P分别作椭圆的两条切线,切点分别为,设直线的斜率为,证明：为定值.

19．已知为有穷整数数列．给定正整数m,若对任意的,在Q中存在,使得,则称Q为连续可表数列．

(1)判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由.

(2)若为连续可表数列,求证：k的最小值为4.

(3)若为连续可表数列,且,求证：．

1．C

【分析】根据给定条件,利用复数乘法运算及复数相等计算得解.

【详解】依题意,,而,则.

所以.

故选：C

2．D

【分析】根据集合的描述法确定集合中的元素,根据交集的概念可得,从而根据其元素个数得子集个数.

【详解】因为.

.

所以,所以的子集个数为．

故选：D．

3．D

【分析】由向量垂直得,再利用向量夹角的坐标运算求解即可.

【详解】因为.

又,所以,得到.

所以,得到.

所以.

故选：D

4．B

【分析】根据诱导公式化简,再利用函数奇偶性的定义判断的奇偶性,从而得解.

【详解】因为,定义域为.

又.

所以是奇函数,从而ACD错误,B正确.

故选：B.

5．B

【分析】