专题2.2 基本不等式（4类必考点）（人教A版2019必修第一册）（解析版）.docx

专题2.2基本不等式

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【考点1：由基本不等式求最值或取值范围】 1

【考点2：由基本不等式证明不等式】 1

【考点3：利用基本不等式解决存在性或恒成立问题】 9

【考点4：利用基本不等式解决实际问题】 14

【考点1：由基本不等式求最值或取值范围】

【知识点：基本不等式】

一．基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)

（1）基本不等式成立的条件：a0，b0.

（2）等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．

二．几个重要的不等式：

（1）a2+b2≥2ab，a，b∈R

（2）ba+ab≥2，ab0，当且仅当

（3）ab≤a+b22，a，b∈R，当且仅当

（4）a2+b22≥a+b22

三.利用基本不等式求最值问题：

已知x0，y0，则：

（1）如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2eq\r(p).（简记：积定和最小）

（2）如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是eq\f(p2,4).（简记：和定积最大）

1．（2022春?甘孜州期末）y=x+4

A．2 B．3 C．4 D．5

【分析】利用基本不等式的性质可求得答案．

【解答】解：由已知函数y=x+4

∵x≥1，∴4x

∴x+4

当且仅当x=4x?，即

∴?当x＝2?时，函数y=x+4

故选：C．

2．（2022春?青铜峡市校级期末）已知正数x，y满足x+y＝4，则xy的最大值（）

A．2 B．4 C．6 D．8

【分析】直接利用基本不等式求最值即可．

【解答】解：∵x＞0，y＞0，且x+y＝4，

∴xy≤(x+y

当且仅当x＝y＝2时，等号成立．

故选：B．

3．（2022秋?渝中区校级月考）已知正实数a，b满足4a+b+1b+1=1

A．6 B．8 C．10 D．12

【分析】根据a+2b＝a+b+b+1﹣1＝（a+b+b+1）（4a+b

【解答】解：∵正实数a，b满足4a+b

∴a+2b＝a+b+b+1﹣1＝（a+b+b+1）（4a+b+1b+1）﹣1＝5+4(b+1)a+b+a+bb+1

故选：B．

4．（2022春?尖山区校级期末）已知x＞0，y＞0，且2x+y＝xy，则x+2y的最小值为（）

A．8 B．82 C．9 D．

【分析】由条件可得1x+2y=1，x+2y＝（x+2y

【解答】解：x＞0，y＞0，且2x+y＝xy，可得：1x

则x+2y＝（x+2y）（1x+2y=）＝5+2xy

故选：C．

5．（2022春?内江期末）已知正实数a、b满足a+b＝4，则(a+1

A．22+2 B．4 C．254

【分析】由题可知(a+1b)(b+

【解答】解：∵正实数a、b满足a+b＝4，

∴(a+1b)(b+1a

当且仅当ab=1ab，即ab＝1，a+

∴(a+1

故选：B．

6．（2022春?内江期末）已知正实数a、b满足1a+1b=m

A．{2} B．[2，+∞） C．（0，2] D．（0，+∞）

【分析】由题意可得(a+1b)(b+1a)=ab+1ab+

【解答】解：因为a，b为正实数，所以(a+1b)(b+

当ab=1ab，即ab＝1时等号成立，此时b

又因为1a+1b=m

所以由基本不等式可知a+1a≥

所以m≥2．

故选：B．

7．（2022春?温州期末）若正数a，b满足a+b＝ab，则a+2b的最小值为（）

A．6 B．42 C．3+22

【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

【解答】解：因为正数a，b满足a+b＝ab，

所以1b

则a+2b＝（a+2b）（1a+1b）＝3

当且仅当2ba=ab且1a+1b=

所以a+2b的最小值为3+22．

故选：C．

8．（2022春?朝阳区校级期末）已知x＞53，求y=x

【分析】根据配方法可得y＝x﹣1+3

【解答】解：因为x﹣1＞0，

所以y=

≥2(x?1)?

当且仅当x?1=3x?1即x

故答案为：3+23．

9．（2022春?丽江期末）若正数a，b满足a+2b＝ab，则2a+b的最小值为．

【分析】将等式a+2b＝ab转化为2a

【解答】解：将等式a+2b＝ab两边同除以ab，得2a

2a+b＝（2a+b）（2a+1b）＝4

当且仅当2ab

即a＝b＝3时，2a+b的最小值为9．

故答案为：9．

10．（2022春?台州期末）已知非负实数x，y满足13x+y+12y+2=1，则x

【分析】由x+y=13（3x+y+2y+2）

【解答】解：∵实数x，y非负，∴3x+y＞0，2y+2＞0，

∴x+y=13（3x+y+2y+2）?23=13（3x+

=13（1+3x+y2y+2+2y+23x+y

当且仅当3x+y2y+2=2y+23x+y，即x

∴