专题2.2 基本不等式（4类必考点）（人教A版2019必修第一册）（原卷版）.docx

专题2.2基本不等式

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【考点1：由基本不等式求最值或取值范围】 1

【考点2：由基本不等式证明不等式】 1

【考点3：利用基本不等式解决存在性或恒成立问题】 9

【考点4：利用基本不等式解决实际问题】 14

【考点1：由基本不等式求最值或取值范围】

【知识点：基本不等式】

一．基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)

（1）基本不等式成立的条件：a0，b0.

（2）等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．

二．几个重要的不等式：

（1）a2+b2≥2ab，a，b∈R

（2）ba+ab≥2，ab0，当且仅当

（3）ab≤a+b22，a，b∈R，当且仅当

（4）a2+b22≥a+b22

三.利用基本不等式求最值问题：

已知x0，y0，则：

（1）如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2eq\r(p).（简记：积定和最小）

（2）如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是eq\f(p2,4).（简记：和定积最大）

1．（2022春?甘孜州期末）y=x+4

A．2 B．3 C．4 D．5

2．（2022春?青铜峡市校级期末）已知正数x，y满足x+y＝4，则xy的最大值（）

A．2 B．4 C．6 D．8

3．（2022秋?渝中区校级月考）已知正实数a，b满足4a+b+1b+1=1

A．6 B．8 C．10 D．12

4．（2022春?尖山区校级期末）已知x＞0，y＞0，且2x+y＝xy，则x+2y的最小值为（）

A．8 B．82 C．9 D．

5．（2022春?内江期末）已知正实数a、b满足a+b＝4，则(a+1

A．22+2 B．4 C．254

6．（2022春?内江期末）已知正实数a、b满足1a+1b=m

A．{2} B．[2，+∞） C．（0，2] D．（0，+∞）

7．（2022春?温州期末）若正数a，b满足a+b＝ab，则a+2b的最小值为（）

A．6 B．42 C．3+22

8．（2022春?朝阳区校级期末）已知x＞53，求y=x

9．（2022春?丽江期末）若正数a，b满足a+2b＝ab，则2a+b的最小值为．

10．（2022春?台州期末）已知非负实数x，y满足13x+y+12y+2=1，则x

11．（2022春?石家庄期末）已知ab＞0，a+b＝1，则a+4bab的最小值为

12．（2022春?长春期末）已知a，b都是非零实数，若a2+4b2＝3，则1a2+

13．（2022春?岚山区校级月考）已知x＞12，y＞3，且2x+y＝7，则1

14．（2022?烟台三模）当x＞0时，3xx2+4

15．（2022春?西青区校级月考）已知x＞0，y＞0，且x+2y＝2，则4x+x+3y

16．（2022春?温州期中）已知a＞b＞0，当2a+4a+b+1a?b

17．（2022?南京模拟）（1）已知x＞3，求4x?3

（2）已知x，y是正实数，且x+y＝1，求1x

18．（2021秋?新泰市校级期末）已知实数a＞0，b＞0，a+2b＝2．

（1）求1a

（2）求a2+4b2+5ab的最大值．

【方法技巧1】

通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略

拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：

（1）拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；

（2）代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；

（3）拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．

【方法技巧2】

通过常数代换法利用基本不等式求最值的步骤

常数代换法适用于求解条件最值问题．通过此种方法利用基本不等式求最值的基本步骤为：

（1）根据已知条件或其变形确定定值(常数)；

（2）把确定的定值(常数)变形为1；

（3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；

（4）利用基本不等式求解最值．

【考点2：由基本不等式证明不等式】

1．（2022春?郫都区校级期末）若实数x、y满足x2+y2＝1+xy，则下列结论中，正确的是（）

A．x+y≤1 B．x+y≥2 C．x2+y2≥1 D．x2+y2≤2

2．（2022春?尖山区校级月考）若a＞0，b＞0，a+b＝2，则（）

A．ab≥1 B．a+b≥2 C．a2+b2≥2

3．（2022春?肥东县月考）对于不等式①4+6＞25，②x+1x

A．①③正确，②错误 B．②③正确，①错误

C．①②错误，③正确 D．①③错误，②正确

【考点3：利用基本不等式解决存在性或恒成立问题】

1．（2021秋?武清区校级月考）设x＞0，y＞0，设2x+3y=1，若3x+