专题5.5 三角恒等变换（4类必考点）（人教A版2019必修第一册）（解析版）.docx

专题5.5三角恒等变换

TOC\o1-3\h\z\t正文,1

【考点1：两角和与差的正弦、余弦、正切公式】 1

【考点2：二倍角公式】 4

【考点3：三角函数式的化简求值】 8

【考点4：三角恒等变换的综合问题】 12

【考点1：两角和与差的正弦、余弦、正切公式】

【知识点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式】

C(α－β)

cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ

C(α＋β)

cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β

S(α－β)

sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β

S(α＋β)

sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β

T(α－β)

tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)；

变形：tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)

T(α＋β)

tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)；

变形：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)

1．（山西省部分学校2023届高三上学期期末数学试题）已知sinα?π4=2

A．?34 B．34 C．?

【答案】A

【分析】根据正弦的和差角公式可得sinα?cosα=

【详解】由sinα?π4=2

所以sinα?cosα

故sinα

故选：A.

2．（2023·高一课时练习）若sinα?β?cosα?cosα?β?

A．1?m2

C．1+m2

【答案】B

【分析】根据两角差的正弦公式可得sin?β=m，进而得

【详解】由sinα?β?cos

所以sin?β=m，即sinβ=?m，由于β为第三象限角，所以cos

故选：B

3．（2022春·内蒙古呼和浩特·高三呼市二中校考阶段练习）sin40°

【答案】6

【分析】根据诱导公式，逆用、正用两角和的正弦公式进行求解即可.

【详解】sin

故答案为：6

4．（2022春·北京海淀·高三海淀实验中学校考期末）已知α为第二象限角，tanα=?43

【答案】7

【分析】由题知sinα=

【详解】解：因为α为第二象限角，tan

所以，sinα=

所以，sin

故答案为：7

5．（2023·高一课时练习）若tanα=?43，sinβ=3

【答案】?

【分析】利用两角差的正弦公式求解.

【详解】解：因为tanα=?43，sin

所以cosα=?35

所以sinα?β

=4

=?7

故答案为：?

6．（2023·高一课时练习）已知cosx+cosy=12

【答案】?

【分析】将两式平方相加，由同角平方和关系以及余弦的和角公式即可求解.

【详解】将cosx+cosy=

同理将sinx?siny=

①②两式相加得2+2cos

故：cos

7．（2023·高一课时练习）若m∈R，点Atanα,0，Btanβ,0

【答案】?3

【分析】先利用韦达定理与和角的正切公式求出tanα+β=3

【详解】解：由题得m≠0，tanα+tanβ=?

∴tanα+β

由m≠0Δ≥0?m≤

∴当m=94时，函数y=tan

8．（2022春·河南·高一河南省实验中学阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点．

(1)如果A，B两点的纵坐标分别为45,1213，求

(2)在（1）的条件下，求cos(β?a)

【答案】(1)cosα=3

(2)33

【分析】（1）根据正弦和余弦函数的定义即可求得sinα和sinβ，进而求得

（2）结合（1）的结论由两角差的余弦公式计算即可．

【详解】（1）解：∵OA=1，OB=1，且点A，B的纵坐标分别为45，12

∴sinα=45

又∵α为锐角，

∴cosα＝1?sin2

（2）解：∵β为钝角，

∴由（1）知cosβ=?1?sin

∴cos(β?a)=

【考点2：二倍角公式】

【知识点：二倍角公式】

S2α

sin2α＝2sin_αcos_α；

变形：1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，

1－sin2α＝(sinα－cosα)2

C2α

cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；

变形：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，

sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)

T2α

tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)

1．（2022·四川资阳·统考二模）已知sinα+π6=1

A．?79 B．?429

【答案】D

【分析】以α+π

【详解】∵sin2α+

故选：D.

2．（河北省部分学校2023届高三上学期期末数学试题）已知3sin2θ+5sinθ?2=0

A．