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湖南省岳阳市云溪区2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1．过点且倾斜角为的直线方程为()

A. B.

C. D.

2．“”是“直线与直线垂直”的()

A.充要条件

B.必要不充分条件

C.充分不必要条件

D.既不充分也不必要条件

3．已知点A，B，C为椭圆D的三个顶点，若是正三角形，则D的离心率是()

A. B. C. D.

4．在长方体中，已知，，E为的中点，则直线与所成角的余弦值为()

A. B. C. D.

5．瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上这条直线被称为“欧拉线”已知的顶点，，，则的欧拉线方程为()

A. B.

C. D.

6．已知圆与圆，过动点分别作圆、圆的切线，（A，B分别为切点），若，则的最小值是()

A. B. C. D.

7．刍甍是中国古代算数中的一种几何体，是底面为矩形的屋脊状的楔体现有一个刍甍如图所示，底面BCDE为矩形，平面BCDE，和是全等的正三角形，，，，则异面直线AE与BD所成角的余弦值为()

A. B. C. D.

8．已知，分别为双曲线的左、右焦点，P为第一象限内一点，且满足，，线段与双曲线C交于点Q，若，则双曲线C的离心率为()

A. B. C. D.

二、多项选择题

9．满足下列条件的直线与，其中的是()

A.的倾斜角为，的斜率为1

B.的斜率为，经过点

C.经过点，经过点

D.的方向向量为，的方向向量为

10．已知函数，则下列说法正确的是()

A.点是图像的一个对称中心

B.的单调递增区间为，

C.在上的值域为

D.将的图像先向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图像，则

11．曲线C是平面内与两个定点，的距离的积等于的点P的轨迹，则下列结论正确的是()

A.点P到y轴距离的最大值为3

B.点P到原点距离的最大值为

C.周长的最大值为

D.最大值为

12．在直三棱柱中，，，D是AC的中点，下列判断正确的是()

A.平面

B.面面

C.直线到平面的距离是

D.点到直线的距离是

三、填空题

13．已知向量与的夹角为，，，则，_________.

14．在正三棱柱中，若，则与所成的角的大小为_________.

15．已知P为抛物线上的任意一点，F为其焦点，Q为圆上的一点，则的最小值为_________.

16．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点且斜率为2的直线与C的一条渐近线在第四象限相交于点M，四边形为平行四边形.若直线的斜率，则C的离心率的取值范围为________.

四、解答题

17．如图，已知平面，为矩形，，分别为的中点，求证：

(1)平面；

(2)平面平面.

18．某公司的入职面试中有4道难度相当的题目，王阳答对每道题的概率都是0.7，若每位面试者共有4次机会，一旦某次答对抽到的题目、则面试通过，否则就一直抽题到第4次为止，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的

(1)求王阳第三次答题通过面试的概率；

(2)求王阳最终通过面试的概率

19．已知双曲线的实轴长为，且过点

(1)求双曲线C的方程

(2)过双曲线C的右焦点F作斜率为的直线l，l与双曲线C交于A，B两点，求

(3)若M，N是双曲线C上不同的两点且直线MN的斜率为，线段MN的中点为P，证明：点P在直线上

20．已知O为坐标原点，椭圆：的两个顶点坐标为，，短轴长为2，直线交椭圆C于P，Q两点，直线与x轴不平行，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知.

(1)求椭圆C的方程

(2)求证：直线恒过定点；

(3)斜率为的直线交椭圆C于M，N两点，记以，为直径的圆的面积分别为，，的面积为S，求的最大值

21．如图，轴垂足为D点，点M在的延长线上，且当点P在圆上运动时，点M的轨迹方程为C.

(1)求点M的轨迹C的方程；

(2)当时，点M的轨迹方程记为.

(i)若动点N为轨迹外一点，且点N到轨迹的两条切线互相垂直，记点N的轨迹方程记为，试判断与圆是否存在交点？若存在，求出交点的坐标；若不存在，请说明理由；

(ii)轨迹的左右顶点分别记为，圆上有一动点E，E在x轴上方，，直线交轨迹于点G，连接，，设直线，的斜率存在且分别为，，若，求t的取值范围

参考答案

1．答案：D

解析：因为直线的倾斜角为，

所以直线的斜率为，

所以直线方程为，

即，

故选：D

2．答案：A

解析：因为直线与直线垂直，

等价于，即，

所以“”是“直线与直线垂直”的充要条件

故选：A

3．答案：C

解析：无论椭圆焦点位于x轴或y轴，根据点A,B,C为椭圆D的