广东省廉江市第三中学2024届高三数学专题复习 立体几何线面平行问题.doc

广东省廉江市第三中学2024届高三数学专题复习立体几何线面平行问题

一知识点

1空间两直线的位置关系（1）相交——有且只有一个公共点；（2）平行——在同一平面内，没有公共点；（3）异面——不在任何一个平面内，没有公共点；

2公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行推理模式：

3等角定理：若一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，则这两个角相等

4等角定理的推论:若两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等

5空间两条异面直线的画法

6异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线

推理模式：与是异面直线

7异面直线所成的角：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，所成的角的大小与点的选择无关，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）为了简便，点通常取在异面直线的一条上异面直线所成的角的范围：

8异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直两条异面直线垂直，记作

9求异面直线所成的角的方法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；

（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求

10两条异面直线的公垂线距离：和两条异面直线都垂直相交的直线，我们称之为异面直线的公垂线因为两条异面直线互相垂直时，它们不一定相交，所以公垂线的定义要注意“相交”的含义两条异面直线的公垂线有且只有一条

异面直线间的距离：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离

12直线和平面的位置关系（1）直线在平面内（无数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为，，

13线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行推理模式：

14线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行推理模式：

二基本题型

4完成下列证明，已知直线abc不共面，它们相交于点P，A?a，D?a，B?b，E?c求证：BD和AE是异面直线

证明：假设__共面于?，则点AEBD都在平面__内

?A?a，D?a，∴__?γ?P?a，∴P?__

?P?b，B?b，P?c，E?c∴__??，__??，这与____矛盾∴BDAE__________

5已知分别是空间四边形四条边的中点，（1）求证四边形是平行四边形（2）若AC⊥BD时，求证：为矩形；（3）若BD=2，AC=6，求；（4）若ACBD成30o角，AC=6，BD=4，求四边形的面积；（5）若AB=BC=CD=DA=AC=BD=2，求AC与BD间的距离

6空间四边形中，，分别是的中点，，求异面直线所成的角

7在正方体ABCDA1B1C1D1中,求(1)A1B与B1D1所成角;(2)AC与BD1所成角

8在长方体中，已知AB=a，BC=b，=c(a＞b)，求异面直线与AC所成角的余弦值

9如图，已知是平行四边形所在平面外一点，分别是的中点（1）求证：平面；（2）若，，求异面直线与所成的角的大小

10如图,正方形与不在同一平面内,分别在上，且

求证：平面

参考答案：

5证明（1）：连结，∵是的边上的中点，∴，

同理，，∴，

同理，，所以，四边形是平行四边形

证明（2）：由（1）四边形是平行四边形

∵，，∴由AC⊥BD得，，∴为矩形

解（3）：由（1）四边形是平行四边形

∵BD=2，AC=6，∴

∴由平行四边形的对角线的性质

解（4）：由（1）四边形是平行四边形

∵BD=4，AC=6，∴

又∵，，ACBD成30o角，∴EFEH成30o角，

∴四边形的面积

解（5）：分别取AC与BD的中点MN,连接MNMBMDNANC，

∵AB=BC=CD=DA=AC=BD=2，∴MB＝MD＝NA＝NC＝

∴，∴MN是AC与BD的公垂线段

且∴AC与BD间的距离为

6解：取中点，连结，∵分别是的中点，

∴且，

∴异面直线所成的角即为所成的角，

在中，，

∴，异面直线所成的角为

9略证（1）取PD的中点H，连接AH，

为平行四边形

解(2):连接AC并取其中点为O，连接OMON，则OM平行且等于BC的一半，ON平行且等于PA的一半，所以就是异面直线与所成的角，由，得，OM=2，ON=

所以，即异面直线与成的角

10略证：作分别交BCBE于TH点

从而有MNHT为平行四边形