定义法判断证明函数的单调性专项训练 高三数学一轮复习.docxVIP

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单调性定义法判断证明函数的单调性（初阶）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、解答题

1．已知函数在区间上的最大值与最小值之和为7．

(1)求a的值；

(2)证明：函数是上的增函数．

2．已知.

(1)用定义证明在区间上是增函数；

(2)求该函数在区间上的最大值.

3．已知函数是定义在R上的奇函数，且.

(1)确定函数的解析式；

(2)用定义证明在上单调递减.

4．已知函数，.

(1)求的值.

(2)用定义证明函数在上为增函数.

5．已知函数．

(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；

(2)判断函数的单调性并证明．

6．已知函数.

（1）判断并证明函数f(x)

（2）判断并证明f(x)

7．已知函数，．

(1)用定义法证明：函数在上单调递增；

(2)求不等式的解集．

8．已知函数是奇函数．

(1)求的值，判断的单调性并用定义证明之；

(2)若对任意的，不等式成立，求实数的取值范围．

9．已知函数的图像经过点.

（1）求值，并写出函数的解析式；

（2）判断函数在上是增函数还是减函数，并用单调性定义证明.

10．已知函数.

（1）判断函数f(x)

（2）当时，证明函数f(x)在区间是增函数.

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参考答案：

1．(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据单调性代入计算即可；

（2）根据定义法证明函数为增函数即可.

【详解】（1）因为在区间上单调递增，

所以函数在区间上的最大值与最小值之和为，

所以，解得，

又因为，所以．

（2）由（1）知，，

任取，且，则

．

因为，所以，，

所以，即，

所以是上的增函数．

2．(1)见解析

(2)

【分析】(1)在，内任取两个不同的值，且规定大小，利用作差法比较与的大小得结论；

(2)利用函数在，上是增函数求得函数的最值．

【详解】（1）证明：任取，，，且，

则．

，，而，，

，即，

在区间，上是增函数；

（2）解：由(1)知，在区间，上是单调增函数，

．

3．(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据函数的奇偶性得到方程，求出，再根据求出，得到解析式；

（2）利用定义法证明函数单调性步骤，取值，作差，判号，下结论.

【详解】（1）因为函数是奇函数，

所以，所以，则，

此时，所以，解得，

所以；

（2）证明：，且，

则，

∵

∴，，则，

又

∴，即，

所以在上单调递减.

4．(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）首先求得，再由即可求值；

（2）令，结合解析式判断的大小，即可证结论.

【详解】（1）由，则.

（2）令，则

，

又，，故，即，

所以在上为增函数.

5．(1)是奇函数，理由见解析

(2)在上单调递减，证明见解析

【分析】（1）根据函数奇偶性定义进行判断证明；

（2）根据函数单调性定义进行证明.

【详解】（1）是奇函数，理由如下：

函数，则定义域关于原点对称，

因为，所以是奇函数；

（2）任取，

则

????????????，

因为，所以，

所以，所以在上单调递减.

6．（1）详见解答；（2）详见解答.

【分析】（1）求出判断与的关系，即可得出结论；

（2）将分离常数，任取，用作差法比较大小，即可得出结论.

【详解】（1）的定义域为实数集，

，

所以是奇函数；

（2），设，

，

，

所以在实数集上增函数.

【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的证明，意在考查逻辑推理能力，属于基础题.

7．(1)证明过程见解析；

(2)

【分析】（1）取值，作差，判号，得到相应结论；

（2）先得到，为奇函数，从而根据奇偶性和第一问求出的单调性解不等式，得到答案.

【详解】（1）任取，且，

，

因为，且，

故，，，，，

所以，，

故函数在上单调递增；

（2），定义域关于原点对称，

且，

所以为奇函数，

变形为，

则要满足，解得：，

故不等式的解集为

8．(1)，递增函数，证明见解析

(2)

【分析】(1)利用奇函数的性质以及单调性的定义即可求解、证明；(2)根据奇函数、增函数即可解不等式，再根据一元二次不等式恒成立求解.

【详解】（1）显然函数的定义域是，

据题意有，得，即，

此时满足题意．

，

由此可判断出是上的递增函数．

以下用定义证明：，且，则，

所以，

即，故是上的递增函数．

（2）是奇函数，由已知可得，

所以，则，

，故，．

实数的取值范围为．

9．（1）.（2）单调递增.见解析

【分析】（1）将点代入函数解析式，