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02数列大题综合

1．（2023·贵州·统考模拟预测）已知数列是等差数列，数列是公比不等于1的等比数列，且，，.

(1)求与；

(2)设，求.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）运用等差数列、等比数列的基本量计算即可.

（2）运用错位相减法求和即可.

【详解】（1）设的公差为，的公比为，

由，，，得，

解得，，

所以，.

（2）由（1）得，

所以，

两式相减得，

所以.

2．（2023·陕西商洛·统考二模）已知等差数列满足，．

(1)求的通项公式；

(2)设的前n项和为，求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设等差数列的公差为，根据等差数列的性质即可求得的值，进而即可求得的通项公式；

（2）先根据等差数列前n项和的公式求得，从而可得的通项公式，再根据裂项相消即可求得．

【详解】（1）设等差数列的公差为，

由，，得，解得．

所以．

（2）由（1）得，

所以，

所以．

3．（2023·宁夏吴忠·统考模拟预测）已知数列满足，.

(1)设，求和的值及数列的通项公式；

(2)若不等式成立，求正整数的最小值.

【答案】(1)，

(2)正整数的最小值为7

【分析】（1）根据递推公式求出、、的值，即可求出，，再由，，即可得到，从而得到是为首项，为公比的等比数列，即可求出其通项公式；

（2）由（1）可得是1为首项，2为公比的等比数列，利用分组求和及等比数列求和公式求出，即可得到，解得，从而求出的最小值.

【详解】（1）由已知，

所以，则，，则，，则；

因此，，

因为，，

所以，即，

故是为首项，为公比的等比数列，

因此；

（2）由（1）知，又，

所以，可得，

所以是1为首项，2为公比的等比数列，

因此

，

由，解得，因为，又因为，

所以正整数的最小值为.

4．（2023·内蒙古·校联考模拟预测）设数列的前n项和为，且，.

(1)求的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先根据，可得数列是以为公差的等差数列，从而可得数列的通项，再根据与的关系结合构造法即可得解；

（2）先求出数列的通项，再利用裂项相消法即可得解.

【详解】（1）因为，

所以，

所以数列是以为首项，为公差的等差数列，

所以，则，

当时，，

两式相减得，即，

所以数列为常数列，且，

所以；

（2）由（1）得，

所以，

所以.

5．（2023·内蒙古赤峰·校联考模拟预测）等差数列中，，.

(1)设，求数列的前7项和，其中表示不超过x的最大整数，如，；

(2)设，是数列的前n项和，求证：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据题意求得等差数列的通项公式，由的定义，分别求得，即可得到结果；

（2）根据题意可得数列的通项公式，然后由裂项相消法即可得到结果；

【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，则，

所以，则；

且，则，，，

，，，，

所以数列的前7项和为.

（2）由（1）可知，，

所以，

所以.

6．（2023·广西南宁·统考二模）记为各项均为正数的等比数列的前n项和，且成等差数列.

(1)求的通项公式；

(2)设，求的前n项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据条件列出等比数列基本量的方程组，即可求解；

（2）由（1）可知，利用错位相减法求和.

【详解】（1）设数列的首项为，公比为q，则①，

因为，，成等差数列，则，即②，

因为，所以由②式可得，解得或（舍），

代入①式可得，

（2）由得，

则③，

所以④

③④得

7．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）已知数列的前项和为，且．

(1)求的通项公式；

(2)设，数列的前项和为，证明：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）利用数列的递推关系式求出数列的通项公式.

（2）利用错位相减法求出数列的和，根据不等式的性质可证明.

【详解】（1）当时，，解得；

当时，，两式相减得；

所以是，的等比数列，

故．

（2）证明：因为，

所以①

，②

①②得

所以．因为，所以．

8．（2023·贵州·统考模拟预测）公比为的等比数列的前项和.

(1)求与的值；

(2)若，记数列的前项和为，求.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据的关系由条件求，再结合等比数列定义求与的值；

（2）先求，利用等差数列求和公式求，利用裂项相消法求.

【详解】（1）已知.

当时，；

当时，.

所以，

由数列为等比数列，可得，

又

所以，即.

（2）因为.

所以，

所以当时，，

所以

9．（2023·江西九江·瑞昌市第一中学校联考模拟预测）设数列的前项和为，，是等比数列，，.

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用与之间的关系，可得数列的通项公式；

（2）利用等比数列的通项公式可得，利用裂项相消法与分组