专题3.4 函数的应用（一）（3类必考点）（人教A版2019必修第一册）（解析版）.docx

专题3.4函数的应用（一）

TOC\o1-3\h\z\t正文,1

【考点1：一次、二次、分式函数模型】 1

【考点2：分段函数模型】 6

【考点3：幂函数模型】 14

【考点1：一次、二次、分式函数模型】

【知识点：一次、二次、分式函数模型】

函数模型

函数解析式

一次函数模型

f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)

分式函数模型

f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b为常数且k≠0)或y＝x＋eq\f(a,x)(a0)

二次函数模型

f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)

1．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价P（元）之间的关系为P=160?2x，生产x件所需成本为C（元），其中C=500+30x，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是（????）

A．20≤x≤30，x∈N? B．20≤x≤45

C．15≤x≤30，x∈N? D．15≤x≤45

【答案】B

【分析】由题意求得利润函数y=?2x2+1300x?500

【详解】由题意日销量x件时，利润是y=(160?2x)x?(500+30x)=?2x

?2x2+130x?500≥1300，(x?20)(x?45)≤0

故选：B．

2．某单位计划建一矩形场地，现有总长度为100m的可作为围墙的材料，则场地的面积S(单位：m2)与场地的长x(单位：m)的函数关系式为____________．

【答案】S

【分析】根据矩形的面积公式即可求解解析式，结合长度的要求即可得定义域.

【详解】由于场地的长为xm，则宽为(50?x)m，由题意得S=x(50?x)．易知x0，50?x0，所以自变量x的取值范围为0x50．故所求函数的关系式为

故答案为：S

3．某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加一单位产品，成本增加1万元，又知总收入R是单位产量Q的函数：R(Q)=4Q?1200Q

【答案】250

【分析】由题意可得总利润LQ=总收入R?固定成本200万元?

【详解】根据题意得L

=?1

所以当Q=300时，总利润取得最大值250万元，

故答案为：250

4．某商场销售A型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示：

销售单价/元

4

5

6

7

8

9

10

日均销售量/件

400

360

320

280

240

200

160

请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价（单位：元/件）应为_________________.

【答案】8.5

【分析】根据题意找出利润与定价的函数关系，利用二次函数的性质即可求解.

【详解】设定价为x,14x3元，利润为y元，

由题意可知：y=(x?3)400?40

故当x=8.5时，y最大，且最大值为1210.

故答案为:8.5

5．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时，两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元.

(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系.

(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，怎样分配资金才能获得最大收益？其收益最大为多少万元？

【答案】(1)fx=1

(2)投资债券等稳健型产品16万元，投资股票等风险型产品为4万元时，收益最大为3万元.

【分析】（1）设投资债券等稳健型产品收益为fx=k

（2）设投资债券等稳健型产品x万元，则投资股票等风险型产品为(20?x)万元，可得收益函数为y=fx

（1）设投资x万元时，投资债券等稳健型产品的收益为fx=k

由题意知：f1=k1×1=0.125=18

∴两类产品的收益与投资的函数关系式分别是：fx=1

（2）设投资债券等稳健型产品x万元，则投资股票等风险型产品为(20?x)万元，

由题意，投资获得的收益y=fx+g20?x

令t=20?x，则0≤t≤2

∴原问题为求y=?1

∵y=?18(t?2)

∴当t=2，即x=16万元时收益最大，最大为3万元.

故投资债券等稳健型产品16万元，投资股票等风险型产品为4万元时，收益最大为3万元.

6．随着中国经济的快速发展，环保问题已经成为一个不容忽视的问题，而与每个居民的日常生活密切相关的就是水资源问题.某污水处理厂在国家环保部门的支持下，引进新设备，污水处理能力大大提高.已知该厂每月的污水处理量最少为50万吨，最多为200万吨，月处理成本y（万元）与月处理量x（万吨）之间的函数关系可近似地表示为y=

(1)该厂每月污水处理量为多少万吨时，才能使每万吨的处理成本最低？

(2)该厂每月能否获利？如果能获利，求出最大利润.

【答案】(1)每月污水处理量为10