专题5.7 三角函数的应用（4类必考点）（人教A版2019必修第一册）（解析版）.docx

专题5.7三角函数的应用

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【考点1：几何中的三角函数模型】 1

【考点2：三角函数在实际生活中的应用】 6

【考点3：三角函数在物理学中的应用】 11

【考点4：数学文化及新定义】 15

【考点1：几何中的三角函数模型】

【知识点：几何中的三角函数模型】

1．（广东省清远市2023届高三上学期期末数学试题）如图，已知OAB是半径为2km的扇形，OA⊥OB，C是弧AB上的动点，过点C作CH⊥OA，垂足为H，某地区欲建一个风景区，该风景区由△AOC和矩形ODEH组成，且OH=2OD，则该风景区面积的最大值为（????）

A．52km2 B．114km2

【答案】A

【分析】设∠COA=θ，其中θ∈0,π2

【详解】设∠COA=θ，其中θ∈0,π2

又OH=2OD，则OD=cos

则风景区面积S=1

又cos2

则2cos

当且仅当sinθ=12

故选：A

2．（2021秋·北京·高一校考阶段练习）在平面直角坐标系中，动点M在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周.若点M的初始位置坐标为12,3

【答案】?

【分析】根据题意画出图形，结合图形求出3分钟转过的角度，结合三角函数的定义计算点M所处位置M

【详解】解：由题意可得图：

每12分钟转动一周，则运动到3分钟时，转过的角为312

点M的初始位置坐标为12,32，若角的始边为x轴的非负半轴，此时角α

运动到3分钟时，形成的角度为α+π

所以sin

动点M所处位置M的坐标是?

故答案为：?3

3．（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）我国古代历法从东汉的《四分历》开始，就有各节气初日晷影长度和太阳去极度的观测记录，漏刻、晷影成为古代历法的重要计算项目．唐代僧一行在编制《大衍历》时发明了求任何地方每日晷影长和去极度的计算方法——“九服晷影法”，建立了晷影长l与太阳天顶距θ之间的对应数表（世界上最早的正切函数表）．根据三角学知识知：晷影长l等于表高h与天顶距θ正切值的乘积，即l=?tanθ．若对同一表高进行两次测量，测得晷影长分别是表高的2倍和3倍，记对应的天顶距分别为θ1和θ2，则

A．?1 B．?17 C．1

【答案】B

【分析】根据已知条件得出tanθ

【详解】由题意知tanθ1

故选：B.

4．（2022秋·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）重庆奉节小寨天坑景区拥有世界上深度和容积最大的岩溶漏斗，吸引大量游客来此参观留影.为了测量天坑边上如图1所示的A，B两点间的距离，现在旁边取两点C，D测得CD=300米，∠ADB=3π4，∠BDC=∠DCA=π12，∠ACB=2π3（假设A，B

【答案】300

【分析】画出图形，在三角形中，结合正余弦定理即可解决.

【详解】如图所示：在△BCD中，CD=300，∠BDC=π

∠BCD=∠ACB+∠DCA=2π3+

由正弦定理得：BDsin135°=300sin30°，解得BD=3002

∠CAD=180°?15°

AB2=AD

所以AB两点的距离为3005

故答案为：300

5．（2022春·广西桂林·高一校考期中）要把半径为10的半圆形木料截成矩形，应该怎么截取，才能使矩形面积达到最大？

【答案】当α=π

【分析】得出长方形截面面积表达式，转化为求函数最值问题

【详解】易得OB=Rcos

∴S=2OB?AB=2Rcos

∴sin2α=1,α=

即当α=π

6．（2022·上海宝山·统考一模）某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷ABC，遮阳篷是一个直角边长为6的等腰直角三角形，斜边AB朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，则当遮阳篷ABC与地面所成的角大小为______时，所遮阴影面ABC

【答案】60°##π

【分析】遮阴影面ABC面积达到最大即是点C到AB的距离最大，根据正弦定理表示出点C

【详解】如图，过点C作CD⊥AB交AB于D，连接CD

因此∠CDC就是遮阳篷ABC与地面所成的角，因为CD⊥AB，所以求遮阴影面ABC

设∠DCC=θ，

当θ=90°时遮阴影面ABC

故答案为：60°

7．（2022秋·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）某农业观光区的平面示意图如图所示，其中矩形ABCD的长AB＝2千米，宽AD＝1千米，半圆的圆心P为AB中点，为了便于游客观光休闲，在观光区铺设一条由圆弧AE、线段EF、FC组成的观光道路，其中线段EF经过圆心P，点F在线段CD上（不含线段端点C，D），已知道路AE，FC的造价为每千米20万元，道路EF造价为每千米70万元，设∠APE＝θ，观光道路的总造价为y万元．

(1)试求y与θ的函数关系式y＝f（θ），并写出θ的取值范围；

(2)当θ为何值时，观光道