第二十一章 一元二次方程知识归纳与题型突破（17题型清单）（原卷版）.docx

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第二十一章一元二次方程知识归纳与题型突破（17题型清单）

01思维导图

01思维导图

02

02知识速记

一、一元二次方程的概念

1.概念

等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程.

2.一元二次方程满足的条件(三要素)

(1)是整式方程;(2)只含有一个未知数;(3)整理后未知数的最高次数是2.

3.对“未知数的最高次数是2”的理解

(1)该项系数不为0:

(2)该项未知数指数为2;

(3)当方程中的二次项系数含有字母时,字母取值不确定,这个方程不一定是一元二次方程

二、一元二次方程的一般形式

1.一般形式

一元二次方程的一般形式是(a≠0).其中是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项.

2.一元二次方程的一般形式的特点:方程右边是0,左边是关于x的二次整式,且二次项系数不为0.

3.特殊形式

二次项系数不为0,当b取0或c取0时,一元二次方程的一般形式呈现如下情况:

4.注意事项

确定一元二次方程的各项和各项系数时注意不要丢掉前面的符号.一般情况下,将一元二次方程整理为一般形式时,若二次项系数为负数,要乘“-1”把它转化为正数,若有的项系数是分数,要把它转化为整数.

三、一元二次方程的解(根)

1.概念

使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.如x=2和x=5都是方程的解(根).

2.一元二次方程的解(根)满足的条件(1)未知数的值;(2)使方程左右两边相等

3.判断一个数是不是一元二次方程的解(根)的方法

4.一元一次方程和一元二次方程根的区别

四、一元二次方程的解法：直接开平方法

直接开平方法解一元二次方程：将方程化成x+a2=b(b≥0)的形式，则x

五、一元二次方程的解法：配方法

1.配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．

2.用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(a≠0）的一般步骤是：

（1）化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；

（2）移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；

（3）配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；（4）化原方程为(x+m）2=n的形式；

（5）如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0，则原方程无解．

注意：实际在解方程的过程中，一般也只是针对且为偶数时，才使用配方法，否则可以考虑使用公式法来更加简单。

六、公式法

1.公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．

一元二次方程的求根公式是:(=b2－4ac≥0)

2.推导过程：一元二次方程，用配方法将其变形为：

3.公式法解方程的步骤：①化方程为一元二次方程的一般形式；②确定a、b、c的值；③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1,x2．若b2－4ac＜0，则方程无解．

七、一元二次方程根的判别式()

1.=1\*GB3①当时，方程有两个不相等的实根；

=2\*GB3②当时，方程有两个相等的实根；

=3\*GB3③当时，方程没有实根。

判别式作用：①定根的个数；②求待定系数的值。

注意：

(1)在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式；

(2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数a≠0

(3)证明恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方式+正数”的形式。

七、因分解法

1.元二次方程通过因式分解，分解为两个一次因式乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，实现降次的方法。

即将一元二次方程化简为；从而得出：，因式分解法的关键是分解成两个一次因式相乘的形式。

2.分解的主要方法：

提取公因式法：通过提取公因式达到因式分解的目的，进而求解一元二方程。

乘法公式：因式分解的目的在将方程化成两个因式乘积等于0的形式，利用如下乘法公式，有时可以很好解决。=1\*GB3①平方差公式：a2?b2=（a+b）（a?b）；=2\*GB3②完全平方公式：a2

十字相乘法：

十字相乘法能将某些二次三项式因式分解。十字相乘法的二次三项式需满足三个条件：

=1\*GB3①十字左边上下两数相乘等于二次项；=2\*GB3②十字右边上下两数相乘等于常数项；=3\*GB3③十字交叉相乘积的和等于一次项。例如：用十字相乘法解方程：2x2?x?6=0

∴方程可分解为：（2x+3）（x－2）=0∴x1=?

=1