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2023—2024学年高三11月联考

数学试题

（考试时间：120分钟总分150分）

试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分

第I卷（选择题，共60分）

一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．设全集，若集合满足，则（）

A． B． C． D．

2．复数，则（）

A． B． C． D．

3．已知向量,满足，，，则与的夹角为（）

A． B． C． D．

4．若偶函数满足，当时，，则（）

A． B． C． D．

5．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教士伟烈亚利将《孙子算法》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2022这2022个数中，能被5除余1且被7除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为（）

A．58 B．57 C．56 D．55

6．下列说法正确的是（）

A．随机变量，则

B．若随机变量，，则

C．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件

D．从除颜色外完全相同的个红球和个白球中，一次摸出个球，则摸到红球的个数服从超几何分布；

7．已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（）

A． B． C． D．

8．已知在正三棱锥中，为的中点，，则正三棱锥的表面积与该三棱锥的外接球的表面积的比为（）

A． B． C． D．

二.多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则的值可以是（）

A. B.1 C.0 D.2

10．一副三角板由两个直角三角形组成，如图所示，且，现将两块三角板拼接在一起，得到三棱锥，取和中点、，则下列判断中正确的是（）

A．直线面

B．三棱锥体积为定值.

C．与面所成的角为定值

D．设面面，则∥

11．已知，则实数满足（）

A． B． C． D．

12．数列的前n项和为，，且当时，.则下列结论正确的是（）

A.是等差数列 B．既有最大值也有最小值.

C. D.若,则.

第II卷（非选择题，共90分）

三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．等比数列的前项和，若，，，，则___．

14．楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏，关掉的灯不能相邻，则关灯方案有___种．

15．已知函数，则不等式的解集是_____．

16．已知函数和，若总存在两条不同的直线与函数和图象都相切，则实数的取值范围为_____．

四.解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分10分）

在中，角所对的边分别是.已知.

（1）若，求；

（2）求的取值范围.

18．（本小题满分12分）

已知函数的最大值为，其相邻两个零点之间的距离为，且的图象关于直线对称.

（1）当时，求函数的递增区间.

（2）若对任意的恒成立，求实数的最小正值.

19．（本小题满分12分）

等差数列满足，.数列的前n项和满足.

（1）求数列和的通项公式；

（2）对于集合，，定义集合且.设数列和中的所有项分别构成集合A，B，将集合的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前项和.

20．（本小题满分12分）

在多面体中，，且，

，

（1）证明:；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.

21．（本小题满分12分）

小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏，规则如下：若掷出的点数之和为的倍数，则由原投掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是的倍数，则由对方接着投掷．

（1）规定第次从小明开始．

（ⅰ）求前次投掷中小明恰好投掷次的概率；

（ⅱ）设游戏的前次中，小芳投掷的次数为，求随机变量的分布列与期望．

（2）若第次从小芳开始，求第次由小芳投掷的概率．

22．（本小题满分12分）

已知函数，．

（1）若在处取得极值，求的值；

（2）设，讨论函数的单调性；

（3）当时，若存在正实数，满足，求证：

2023—2024学年高三11月联考

高三数学参考答案

选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

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