考点巩固19 双曲线方程及其性质(六大考点)2025年高考一轮复习(解析).docxVIP

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考点巩固卷19双曲线方程及其性质（六大考点）

考点01：双曲线的定义（妙用）

结论1：双曲线第一定义。

结论2：标准方程由定义即可得双曲线标准方程。

结论3：双曲线第二定义。

双曲线（a＞0,b＞o）的焦半径公式：,

当在右支上时，,.

当在左支上时，,.

证明：由第二定义得：M在右支时，

M在左支时，。

1．已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与的一条渐近线平行，若点在的右支上，点，则的最小值为（????）

A． B．6 C． D．8

【答案】C

【分析】由直线与的一条渐近线平行，可求得，从而可求出，则可求出的坐标，结合图形可知，从而可求得答案.

【详解】因为双曲线，所以双曲线的渐近线方程为，

因为直线与的一条渐近线平行，

所以，得，

所以，

所以，

因为，所以，

因为点在的右支上，

所以，

所以的最小值为，

故选：C

2．若点P是双曲线C：上一点，，分别为C的左、右焦点，则“”是“”的（????）

A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．充分不必要条件

【答案】D

【分析】首先求得焦半径的最小值，然后结合双曲线定义以及充要条件的定义即可得解.

【详解】，

当点在左支时，PF1的最小值为，

当点在右支时，PF1的最小值为，

因为，则点在双曲线的左支上，

由双曲线的定义，解得；

当，点在左支时，；在右支时，；推不出；

故为充分不必要条件，

故选：D.

3．已知双曲线的右焦点为，动点在直线上，线段交于点，过作的垂线，垂足为，则的值为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设出点的坐标为，由已知，用表示出和PF，进而得到的值.

【详解】由双曲线的对称性，不妨设点在轴上及其上方，如图，

??

依题意，，设，则，

由得，

所以，

所以.

故选：D．

4．过双曲线x24?y212=1的右支上一点P，分别向和作切线，切点分别为M，N

A．28 B．29 C．30 D．32

【答案】C

【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线x24?y212=1的左右焦点为，，连接，，，

【详解】由双曲线方程x24?

可知双曲线方程的左、右焦点分别为，，

圆的圆心为（即），半径为；

圆的圆心为（即），半径为．

连接，，，F2N，则，

可得

，

当且仅当P为双曲线的右顶点时，取得等号，即的最小值为30.

故选：C.

5．已知、是双曲线或椭圆的左、右焦点，若椭圆或双曲线上存在点，使得点，且存在，则称此椭圆或双曲线存在“阿圆点”，下列曲线中存在“阿圆点”的是（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

利用椭圆定义和题给条件求得PF1,PF2的值，再利用

【详解】对于A选项，，、，，

所以，，到焦点距离的最小值为，最大值为，

假设存在点，满足，则，

解得，不合乎题意，

所以A选项中的椭圆不存在“阿圆点”；

对于B选项，，、，，

所以，，

到焦点距离的最小值为，最大值为，

假设存在点，满足，则，

解得，不合乎题意，

所以B选项中的椭圆不存在“阿圆点”；

对于C选项，双曲线的方程为，

则双曲线的两个焦点为，、，．

到焦点距离的最小值为，

若双曲线上存在点，使得点到两个焦点、的距离之比为，

可得

所以C选项中的双曲线存在“阿圆点”；

对于D选项，双曲线的标准方程为，

则，，、，所以，，

到焦点距离的最小值为，

若双曲线上存在点，使得点到两个焦点、的距离之比为，

则，解得，

所以D选项中的双曲线不存在“阿圆点”．

故选：C．

6．已知，为双曲线的左、右焦点，点P是C的右支上的一点，则的最小值为（????）

A．16 B．18 C． D．

【答案】A

【分析】利用双曲线的定义表示PF

【详解】因为，为双曲线的左、右焦点，P是C的右支上的一点，

所以，

所以

，当且仅当，即时，等号成立；

因为，所以，所以成立，的最小值为16.

故选：A.

7．设点P是圆上的一动点，，，则的最小值为（????）．

A． B． C．6 D．12

【答案】B

【分析】设，根据双曲线的定义，将题意转化为双曲线与圆有公共点，再联立双曲线与圆的方程，根据二次方程有解结合判别式求解即可.

【详解】设，

则点P的轨迹为以A，B为焦点，为实轴长的双曲线的上支，

∴点P的轨迹方程为，依题意，双曲线与圆有公共点，

将圆的方程代入双曲线