专题8二次函数与矩形正方形存在性问题-挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（解析版）.pdfVIP

挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘

专题8二次函数与矩形正方形存在性问题

【例1】（2021•齐齐哈尔）综合与探究

2

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax+2x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接

BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线上C、D两点之间的距离是2；

（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；

（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接

写出点Q的坐标．

【分析】（1）先由题意得出A，B的坐标，再用待定系数法求出解析式即可；

（2）根据两点的距离公式即可求出CD的长度；

（3）先设出E的坐标，然后将△BCE的面积表示出来，求出最大值即可；

（4）根据对角线的情况分三种讨论，再由矩形的性质求出点Q的坐标．

【解析】（1）∵OA＝1，

∴A（﹣1，0），

又∵对称轴为x＝2，

∴B（5，0），

将A，B代入解析式得：

，

解得，

∴，自变量x为全体实数；

（2）由（1）得：C（0，），D（2，），

∴CD＝，

故答案为2；

（3）∵B（5，0），C（0，），

∴直线BC的解析式为：，

设E（x，），且0＜x＜5，

作EF∥y轴交BC于点F，

则F（x，），

∴EF＝﹣（）＝，

∴，

当x＝时，S△BCE有最大值为；

（4）设P（2，y），Q（m，n），

由（1）知B（5，0），C（0，），

若BC为矩形的对角线，

由中点坐标公式得：，

解得：，

又∵∠BPC＝90°，

222

∴PC+PB＝BC，

即：，

解得y＝4或y＝﹣，

∴n＝或n＝4，

∴Q（3，）或Q（3，4），

若BP为矩形得对角线，

由中点坐标公式得，

解得，

又∵∠BCP＝90°，

222

BC+CP＝BP，

即：，

解得y＝，

∴Q（7，4），

若BQ为矩形的对角线，

由中点坐标公式得，

解得：，

又∵∠BCQ＝90°，

222

∴BC+CQ＝BQ，

即：，

解得n＝，

∴Q（﹣3，﹣），

综上，点Q的坐标为（3，）或（3，4），或（7，4）或（﹣3，﹣）．

2

【例2】（2021•岳阳）如图，抛物线y＝ax+bx+2经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连

接BC．

（1）求该抛物