2024-2025学年福建省福州市高二上学期期中考试数学检测试卷（含解析）.docx

2024-2025学年福建省福州市高二上学期期中考试数学检测试卷

试卷说明：

（1）本卷共四大题，19小题，解答写在答卷的指定位置上，考试结束后，只交答卷.

（2）考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备.

第Ⅰ卷（选择题，共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.经过点，倾斜角是的直线方程是（）

A. B.

C. D.

【正确答案】B

【分析】根据题意，求得直线的斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求解.

因为所求直线的倾斜角为，可得直线的斜率为，

又因为所求直线经过点，可得直线方程为.

故选：B

2.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（）

A. B. C. D.

【正确答案】A

【分析】根据给定的方程及椭圆焦点位置，列出不等式求解即得.

由方程表示焦点在轴上的椭圆，得，解得，

所以实数的取值范围为.

故选：A

3.在圆的所有经过坐标原点的弦中，最短的弦的长度为（）

A.1 B.2 C. D.4

【正确答案】B

【分析】利用配方法化简圆的方程，结合垂径定理与勾股定理，可得答案.

由，则圆的标准方程为，如下图：

图中，，为圆的圆心，为直线与圆的交点，

易知为所有经过坐标原点的弦中的最短弦，.

故选：B.

4.如图，在直三棱柱中，，，点是线段上靠近的三等分点，则直线与所成角的余弦值为（）

A. B. C. D.

【正确答案】C

【分析】根据题意，可以用正方体模型补形解题，通过平移找出线线所成的角度借助余弦定理解题即可.

根据题意，可以补充成一个棱长为3的正方体.

如图所示.取的三等分点,连接，根据正方体性质，知道.

则为直线与所成角或补角.

连接，.根据正方体性质，知道．

在中，余弦定理知道，,

则直线与所成角的余弦值为.

故选：C．

5.已知实数满足，则的最大值是（）

A. B. C. D.

【正确答案】C

【分析】将问题转化为圆上的点与连线的斜率，利用圆的切线方程的求法可求得斜率的取值范围，进而得到最大值.

由得：，

点的轨迹是以2,1为圆心，为半径的圆，

的几何意义为该圆上的点与连线的斜率，

当过点的直线斜率不存在，即为时，与圆显然不相切；

设过点的圆的切线为，即，

圆心到切线的距离，解得：，

，则的最大值为.

故选：C.

6.光线通过点，在直线上反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为（）

A. B.

C. D.

【正确答案】C

【分析】先求出关于直线的对称点，从而得到反射光线所在直线经过点和对称点，从而得到反射光线所在直线方程.

设点关于直线的对称点为，则，

解得，故.

由于反射光线所在直线经过点和，

所以反射光线所在直线的方程为，即.

故选：C.

7.若直线与曲线有公共点，则实数的取值范围是（）

A. B.

C. D.

【正确答案】A

【分析】根据曲线即为，利用直线与圆的位置关系求解.

解：曲线即为，

表示以为圆心，以2为半径的半圆，其图象如图所示：

由圆心到直线距离等于半径，得，

解得或，

当直线过点时，，

因为直线与曲线有公共点，

所以实数的取值范围是，

故选：A

8.设，是椭圆（）的左、右焦点，过的直线与交于，两点，若，，则的离心率为（）

A. B. C. D.

【正确答案】D

【分析】设，，，根据椭圆的定义及勾股定理求出、，即可求出、，再由余弦定理求出与的关系，即可求出离心率.

不妨设，，，则，．

又，所以，化简得，

显然，所以，解得，，所以，，

故，解得，故的离心率为．

故选：D

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知圆，则下列说法正确的是（）

A.当时，圆与圆有2条公切线

B.当时，是圆与圆的一条公切线

C.当时，圆与圆相交

D.当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为

【正确答案】BD

【分析】由两圆的标准方程可得它们的圆心和半径，再根据圆心距与半径的关系判断出两圆的位置关系，即可得出公切线条数，可判断AC错误；利用圆心到直线的距离与半径的关系可得B正确，将两圆方程相减可得它们的公共弦所在直线的方程为，即D正确.

由可知圆心为，半径为1；

由可知圆心为，半径为，两圆圆心距为；

对于A，当时，，圆与圆相离，有4条公切线，所以A错误；

对于B，当时，与圆相切，圆心到的距离为2，即与圆也相切，

所以是圆与圆的一条公切线，即B正确；

对于C，当时，，圆与圆相离，即C错误；

对于D，当时，，此时两圆相交，

圆的一般方程为，与圆的方程相减可得，

化简可得圆与圆的公共弦所在直线的方程为，即D正确.

故选：BD

10.如图