选修2-2导数及其应用(知识点梳理及配套习题).docVIP

选修2-2导数及其应用

导数的几何意义：割线斜率的极限就是切线的斜率，即

导数的计算：根本初等函数的导数公式：

3.复合函数求导：一般地，设函数在点x处有导数，函数在点x的对应点u处有导数，那么复合函数在点x处也有导数，且。〔由外向内逐层求导，这个法那么也可以推广到三个及三个以上的函数相复合〕

例：求以下函数的导数。

；〔2〕；〔3〕

；〔5〕；〔6〕

〔7〕；〔8〕；〔9〕

求导公式和法那么的综合应用：

例1：求以下函数的导数：

；〔2〕

例2：假设，求。

函数的单调性与导数〔做过的图像问题自行复习〕

利用导数判断函数的单调性的一般步骤为：

〔1〕确定函数的定义域，求；

〔2〕求方程的根；

〔3〕的根将的定义域分成假设干子区间，在这些子区间上依的符号确定在该子区间的单调性。

例1：设函数。假设曲线的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行，求：

a的值；

函数f(x)的单调区间

例2：设函数，其中a为实数。

假设的定义域为R时，求a的取值范围。

当的定义域R时，求的单调递减区间

例3：函数，R。

讨论函数的单调区间；

设函数在区间内是减函数，求a的取值范围。〔别离参数法〕

例4：x＞1，证明不等式：x＞ln〔x＋1〕

函数的极值与导数：

求可导函数的极值的步骤：

确定函数的定义域；

求导数；

求方程=0时的全部实根；

检查导数在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么函数在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么函数在这个根处取得极小值。

〔注：可导函数的极值点一定是其导数为0的点；反之，导数为零的点不一定是该函数的极值点。举例如下：

导数为0但不是极值点：在x=0时不是极值点；

不可导点是极值点：在x=0时是不可导点，但是极小值点〕

例1：以下说法中不正确的选项是〔〕

单调递增函数没有极值

单调递减函数没有极值

函数的极大值大于函数的极小值

导数为0的点不一定是函数的极值点

例2：求函数的极值。

例3：函数在处有极值，且极大值为4，极小值为0，试确定a，b，c的值。

例4：设x=1和x=2是函数的两个极值点。

求a和b的值；

求函数的单调区间

函数的最大〔小〕值与导数

在判断函数的最大〔小〕值时，必须抓住两点：一是任意性；二是存在性。

求函数在闭区间上的最值的步骤：

求函数在开区间内的极值；

将函数的各极值点与端点处的函数值进行比拟，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

例1：设函数f〔x〕的定义域为R，有以下三个命题：

①假设存在M，使得对任意x∈R，有f〔x〕≤M，那么M是函数f〔x〕的最大值；

②假设存在x0∈R，使得对任意x∈R，且x≠x0，有f〔x〕≤f〔x0〕，那么f〔x0〕是函数f〔x〕的最大值；

③假设存在x0∈R，使得对任意x∈R，有f〔x〕≤f〔x0〕，那么f〔x0〕是函数f〔x〕的最大值；

这些命题中，真命题的个数是〔〕

A.0 B.1 C.2 D.3

例2：设函数f〔x〕的定义域为R，有以下三个命题：

①假设存在常数m，使得任意x∈R，有f〔x〕≥m，那么m是函数f〔x〕的最小值；

②假设存在x0∈R，使得对任意x∈R，且x≠x0，有f〔x〕＜f〔x0〕，那么f〔x0〕是函数f〔x〕的最大值；

③定义域为R的函数f〔x〕，假设f〔2x+1〕的最大值为2，那么f〔4x-1〕的最大值也为2；

这些命题中，真命题的个数是〔〕

A.0 B.1 C.2 D.3

例3：设函数为奇函数，其图像在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为－12.〔1〕求a，b，c的值；〔2〕求函数的单调递增区间，并求函数在[－1,3]上的最大值和最小值

例4：求函数上的最值。

8.综合问题：

例1.〔2011辽宁理科数学〕设函数=x+ax2+blnx，曲线y=过P〔1,0〕，且在P点处的切斜线率为2.〔I〕求a，b的值；〔II〕证明：≤2x-2．

例2.〔2011年山东理科高考题〕

某企业拟建造如下图的容器〔不计厚度，长度单位：米〕，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其外表积有关.圆柱形局部每平方米建造费用为3千元，半球形局部每平方米建造费用为.设该容器的建造费用为千元.〔Ⅰ〕写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；〔Ⅱ〕求该容器的建造费用最小时的.