广东省廉江市第三中学2024届高三数学专题复习 立体几何欧拉定理与球学案.doc

广东省廉江市第三中学2024届高三数学专题复习立体几何欧拉定理与球学案

一知识点：

1简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面如图：象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体棱柱棱锥正多面体等一切凸多面体都是简单多面体

2五种正多面体的顶点数面数及棱数：

正多面体

顶点数

面数

棱数

正四面体

4

4

6

正六面体

8

6

12

正八面体

6

8

12

正十二面体

20

12

30

正二十面体

12

20

30

3欧拉定理（欧拉公式）：简单多面体的顶点数面数及棱数有关系式：

4欧拉示性数：在欧拉公式中令，叫欧拉示性数

（1）简单多面体的欧拉示性数（2）带一个洞的多面体的欧拉示性数

（3）多面体所有面的内角总和公式：①或②

5球的概念：与定点距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球定点叫球心，定长叫球的半径与定点距离等于定长的点的集合叫做球面一个球或球面用表示它的球心的字母表示，例如球

6球的截面：用一平面去截一个球，设是平面的垂线段，为垂足，且，所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以为半径的一个圆，截面是一个圆面球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆

7经线：球面上从北极到南极的半个大圆；纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆；经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与经线及轴确定的半平面所成的二面角的度数；纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数

8两点的球面距离：球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离

9两点的球面距离公式：（其中R为球半径，为A,B所对应的球心角的弧度数）

10半球的底面：已知半径为的球，用过球心的平面去截球，球被截面分成大小相等的两个半球，截面圆（包含它内部的点），叫做所得半球的底面

球的体积公式：

12球的表面积：

二练习：

1一个面体共有8条棱，5个顶点，求

2一个正面体共有8个顶点，每个顶点处共有三条棱，求

3一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V和面数F有下面的关系：F＝2V4

4有没有棱数是7的简单多面体？说明理由

5是否存在这样的多面体，它有奇数个面，且每一个面都有奇数条边

6①过球面上任意两点，作球的大圆的个数是

②球半径为，球心到截面距离为，则截面面积为

③已知球的两个平行截面的面积分别是和，它们位于球心同一侧，且相距，则球半径是

④球直径为，为球面上的两点且，则两点的球面距离为

⑤北纬圈上两地，它们在纬度圈上的弧长是（为地球半径），则这两地间的球面距离为

练习参考答案：

1一个面体共有8条棱，5个顶点，求

解：∵，∴，即

2一个正面体共有8个顶点，每个顶点处共有三条棱，求

解：∵，，∴，即

3一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V和面数F有下面的关系：F＝2V4

证明：∵，V＋FE＝2∴V＋F＝2∴F＝2V4

4有没有棱数是7的简单多面体？说明理由

解：若E＝7，∵V＋FE＝2，∴V＋F＝7＋2＝9，∵多面体的顶点数V≥4，面数F≥4

∴只有两种情况V＝4，F＝5或V＝5，F＝4，但是有4个顶点的多面体只有四个面，不可能是5个面，有四个面的多面体是四面体，也只有四个顶点，不可能有5个顶点，∴没有棱数是7的多面体

5是否存在这样的多面体，它有奇数个面，且每一个面都有奇数条边

解：设有一个多面体，有F（奇数）个面，并且每个面的边数也都是奇数，则

，但是上式左端是奇数个“奇数相加”，结果仍为奇数，可右端是偶数，这是不可能的∴不存在这样的多面体

6①过球面上任意两点，作球的大圆的个数是

②球半径为，球心到截面距离为，则截面面积为

③已知球的两个平行截面的面积分别是和，它们位于球心同一侧，且相距，则球半径是

④球直径为，为球面上的两点且，则两点的球面距离为

⑤北纬圈上两地，它们在纬度圈上的弧长是（为地球半径），则这两地间的球面距离为

答案：①一个或无数个②③④⑤

9设地球的半径为R，在北纬45°圈上有AB两点，它们的经度相差90°，那么这两点间的纬线的长为_________，两点间的球面距离是_________

分析：求AB两点间的球面距离，就是求过球心和点AB的大圆的劣弧长，因而应先求出弦AB的长，所以要先求出AB两点所在纬度圈的半径

解：连结AB设地球球心为O，北纬45°圈中心为O1，则

O1O⊥O1A，O1O⊥O1

∴