题型08 4类函数单调性与函数极值最值(原卷版) (1).docxVIP

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题型08手把手教学答题模板

之4类函数单调性与函数极值最值

技法

技法01具体函数的单调性

技法02含参函数且导函数可分解型函数的单调性

技法03含参函数且导函数不可分解型函数的单调性

技法04二阶导函数求函数的单调性

技法05函数的极值最值

技法01具体函数的单调性

函数是高中数学主干知识

函数是高中数学主干知识,单调性是函数的重要性质,用导数研究函数单调性是导数的一个主要应用,可以说在高考导数解答题中单调性问题是绕不开的一个问题.这是因为单调性是解决后续问题的关键。单调性在研究函数图象、比较函数值大小、确定函数的极值与零点、解不等式及证明不等式中都起着至关重要的作用，函数单调性的讨论与应用一直是高考考查的热点、而具体函数的单调性是要掌握的基础知识点

知识迁移

导函数与原函数的关系，单调递增，单调递减

例1-1．（2021·全国·统考高考真题）已知函数，讨论的单调性

【详解】的定义域为．

由得，，

令，则，当时；当时，．

故在区间内为增函数，在区间内为减函数，

例1-2．（全国·高考真题）已知函数．若，求的单调区间

【详解】当a=3时，，．

令解得x=或x=．

当时，

当时．

所以函数的增区间是和，减区间是．

1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．当时，讨论的单调性

（2022·浙江·统考高考真题）设函数．求的单调区间

3．（2022·全国·统考高考真题）已知函数．当时，讨论的单调性

4．（2021·全国·统考高考真题）已知且，函数．当时，求的单调区间

5．（2020·全国·统考高考真题）已知函数，当a=1时，讨论f（x）的单调性

技法02含参函数且导函数可分解型函数的单调性

函数是高中数学主干知识

函数是高中数学主干知识,单调性是函数的重要性质,用导数研究函数单调性是导数的一个主要应用,可以说在高考导数解答题中单调性问题是绕不开的一个问题.这是因为单调性是解决后续问题的关键。单调性在研究函数图像、比较函数值大小、确定函数的极值与零点、解不等式及证明不等式中都起着至关重要的作用，函数单调性的讨论与应用一直是高考考查的热点、而含有参数的函数单调性的讨论与应用更是高考中的难点

例2-1．（2023·河北唐山模拟）已知函数．讨论的单调性；

【详解】因为，定义域为，所以，

当时，由于，则，故恒成立，所以在上单调递减；

当时，令，解得，

当时，，则在上单调递减；

当时，，则在上单调递增；

综上：当时，在上单调递减；

当时，在上单调递减，在上单调递增.

例2-2．（2023·全国·模拟预测）已知函数．讨论函数的单调性．

【详解】由题意函数的定义域为．

当时，若，则单调递增；

若，则单调递减．

当时，令，得或．

①当时，，则在上单调递增．

②当时，，则当时，单调递增；

当时，单调递减；

当时，单调递增．

③当时，，则当时，单调递增；

当时，单调递减；

当时，单调递增．

综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；

当时，在上单调递增，在上单调递减；

当时，在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减．

例2-3．（2023·广西南宁·统考模拟预测）已知函数，讨论的单调性；

【详解】对求导得，，分以下两大情形来讨论的单调性：

情形一：当时，有，令，解得，

所以当时，有，此时单调递减，

当时，有，此时单调递增；

所以在单调递减，在单调递增；

情形二：当时，令，解得，

接下来又分三种小情形来讨论的单调性：

情形（1）：当时，有，此时随的变化情况如下表：

由上表可知在和上单调递增，在上单调递减；

情形（2）：当时，有，此时，所以此时在上单调递增；

情形（3）：当时，有，此时随的变化情况如下表：

由上表可知在和上单调递增，在上单调递减.

综上所述：当时，在和上单调递增，在上单调递减；

当时，在上单调递增；

当时，在和上单调递增，在上单调递减；

当时，在上单调递减，在上单调递增.

1．（2023·全国·模拟预测）已知函数，讨论的单调性．

2．（2023·全国·模拟预测）已知函数．讨论的单调性；

3．（2023·全国·模拟预测）已知，讨论函数的单调性.

4．（2021·浙江·统考高考真题）设a，b为实数，且，函数，求函数的单调区间；

5．（2023·江苏·高三专题练习）已知函数，讨论的单调性

6．（2023·全国·模拟预测）已知函数