常微分方程与运动稳定性-第二篇.pptVIP

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1第二篇运动稳定性

2第一章根本定义第二章运动稳定性根本定理第三章自治系统的稳定性第四章周期运动稳定性内容

3陆启韶,常微分方程的定性方法与分叉,北航出版社,1989王照林,运动稳定性及其应用,高教出版社,1992秦元勋等,运动稳定性理论与应用,科学出版社,1981张锦炎,常微分方程集合理论与分叉问题,北大出版社,1987参考教材

4第一节问题的提出第一章根本定义第二节扰动方程

5设力学系统的运动微分方程为并且满足解的存在唯一条件。第一节问题的提出(2.1)t—时间,ys—相空间坐标,Ys—t,ys的实函数,定义域:(2.2)yy′M相轨迹相点它正是所要研究的运动,称为未扰运动。设在t=t0时(2.1)有经过初值ys0之解(2.3)由于外界干扰,系统在t=t0时可能受到某一扰动,使得系统的初值变为ys0+Δys0,而由此出发的运动为受扰运动(2.4)

6定义1.任给?0,存在?0,使当|Δys0|?时,对一切tt0,都有|ys(t)-Ψs(t)|?,那么称未扰运动为稳定。反之,如存在t*t0,当t*=t0时,有|ys(t*)-?s(t*)|??〔无论?多小〕,那么称未扰运动为不稳定。定义2.如果未扰运动为稳定的,并进而有则未扰运动为渐进稳定的。?s(t)t0|Δys0|?|ys(t)-?s(t)|?稳定不稳定|ys(t*)-?s(t*)|???稳定性的几何意义

7李雅普诺夫(Lyapunov)意义下的稳定性概念(1892年博士论文:运动稳定性的一般问题)——运动为稳定或不稳定,由受扰运动与未扰运动之间的差值决定.平衡态稳定性:A0l运动稳定性:如何将运动稳定性化为平衡态稳定性进行研究???

8第二节扰动方程令(2.5)—受扰运动ys(t)与未扰运动?s(t)在同一时刻的偏离因此:(2.6)(2.7)——对应于(2.1)的未扰运动?(t)的扰动方程。

假设存在t*t0,使|x(t*)|??,那么未扰运动为不稳定。9(2.7)显然:X(t,0)≡0x=0为(2.7)的解,对应扰动方程的平衡位置.(2.1)的未扰运动y=?(t)的运动稳定性定义3.如任给?0,存在?0,使当|x0|?使对一切tt0有|x(t)|?,那么(2.7)的0平衡解是稳定的,因此(2.1)的未扰运动为稳定。(2.7)的平衡位置x=0的稳定性如果有,则未扰运动为渐进稳定。9?s(t)t0|ys(t)-?s(t)|?|ys(t*)-?s(t*)|???稳定不稳定o?δ

10解:方程化为(2.9)上式有两个平衡解(对应最低与最高平衡位置)(2.10)例1单摆振动:(2.8)对应的扰动方程为:(2.11)对应的扰动方程为:(2.12)

11例2微分方程(2.13)解:有一周期解令得相应的扰动方程:

12结论:如果原来的运动微分方程是常系数微分方程,那么定常运动〔与时间无关〕所对应的扰动方程仍是常系数微分方程;周期运动所对应的扰动方程为具有周期系数的微分方程,且系数与未扰运动有同样的周期。工程上要求稳定的运动;物理上观察到的持久的运动,也都是稳定的运动。

13第二章运动稳定性的根本定理第一节关于李亚普诺夫函数V的假设干定义第二节函数V(x)定号性与变号性的判别准那么第三节稳定性的根本定理

14第一节关于李亚普假设夫函数V的假设干定义以下研究函数(2.14)其定义域为(2.15)并满足条件(2.16)

15定义4.如V(t,x)在D域上除原点外在其他点也可以取零值但却保持同一符号,那么称V(t,x)为常号函数。如V(t,x)?0称为常正;如V(t,x)0,称为常负。常负常正例如常正常负对于不含t的常号函数V(x)而言,由V(x)=0所画出的曲面不是闭曲面。以下研究函数(2.14)其定义域为(2.15)并满足条件(2.16)

16定义5.对于不含t的函数V(x)而言,如果在域D上保持同号,那么称V(x)为定号函数:——V(x)0为定正;V(x)0为定负例如定正定负

17显然,它为定正函数。令该曲面与x1轴的交点由右式决定对于定号函数V(x)而言,令V(x)=C,可以证明当C足够小时必为闭曲面,而C当比较大时有可能出现非闭的情况。例如:可见,只有当C1时上式对x1才有解,而当C?1时对x1那么无解。这说明,当C1时V(x1,x2,x3)=0的轨迹才为一闭曲面,而当C?1时该闭曲面那

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