江苏省怀仁中学2024高中数学《122 直线与平面垂直的判定》教案 新人教A版必修2.doc

江苏省怀仁中学2024高中数学《122直线与平面垂直的判定》教案新人教A版必修2

教学目标：

使学生能够利用等价转化的思想证明立体几何问题，提高学生逻辑思维能力，培养学生由图形想象出位置关系的能力；利用所学知识解释生活现象，激发学生学习数学积极性，能辩证地看待问题，学会分析事物间关系，进而选择解决问题途径。

教学重点：

直线和平面垂直的判定。

教学难点：

判定定理的证明。

教学过程：

1复习回顾：

［师］直线和平面平行的判定方法有几种？

［生］可利用定义判断，也可依判定定理判断

2讲授新课：

1直线和平面垂直的定义

［师］该章的章图说明旗杆与其影子之间构成的几何图形，请同学思考，随着时间的变化，影子在移动，这是变的一面，那么不变的一面是什么呢？

［讨论观察片刻，提醒学生从位置关系去分析，师可用电

筒照射一杆，让学生得出结论］进而提醒学生观察右图。

［生］由图形可知，旗杆与地面内任意一条径B的直线垂直

（若先回答射影，可引导其抽象为直线）

师进一步提出：那么旗杆所在线与平面内不经过B点的线

位置如何呢？依据是什么？

［生］垂直依据是异面直线垂直定义

生在师的诱导下，尝试地给出直线和平面垂直的定义：

如果一条直线l和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l和平面α互相垂直

可记作l⊥α

其中直线l叫平面α的垂线

平面α叫直线l的垂面

［师］“任意一条直线”，说明直线l必须和平面内的所有直线都具有垂直关系不能理解成无数条线，必须是全部同学可找一反例说明

［生］当一条直线和一平面内一组平行线垂直时，该直线不一定和平面垂直（可举教材中每一行字看成平行线，当钢笔与其垂直时，不一定钢笔就与教材所在面垂直）

［师］若l∥α或lα，则l此时不会和α内任意一条直线垂直，由此，当l与α具有l⊥α关系时，直线l一定和α相交

直线和平面垂直时，它们惟一的公共点，即交点叫垂足

师进一步给出直线与平面垂直时，直观图的画法

（师生共同规范地画出直线与平面垂直关系）

画直线与水平平面垂直时，要把直线画成和表示平面的平行四边形的横边垂直

l⊥α点P是垂足

让学生观察投影片中所给四个图形，能得出什么结论

经师诱导，生得到结论

［生］图（1）（2）说明经过空间一点P作α的垂线只有一条，图（3）（4）说明，经过空间一点P作l的垂面只有一个

除定义外，直线和平面垂直的判定还有什么方法呢？

2直线和平面垂直的判定

例1：求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面

已知：a∥b，a⊥α

求证：b⊥α

分析：要证b⊥α，需证b与α内任意一条直线m垂直

运用等价转化思想证明与b平行的线a垂直于m，则

需依题设直线m存在进而运用线垂直于面

线垂直于面内线完成证明

学生依图，及分析写出证明过程

证明：设m是α内的任意一条直线

［此结论可以直接利用，判定直线和平面垂直］

给出判定定理，学生思考证明途径

直线和平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面

已知：mα，nα，m∩n=B，l⊥m，l⊥n

求证：l⊥α

分析：此定理要证明，需达到l⊥α关系

而由定义知只要能设法证明l垂直于α内任一条直线

即可，不妨设此线为g，则需证l⊥g就可以

证明l⊥g较困难，同学可考虑线段垂直平分线性质

学生先思考，如何先确定线位置

由于已知条件中有m∩n=B,

所以可先从lg都通过点B的情况证起，

然后再推广到其他情形，也可看成是分类讨论思想渗透

证明过程学生可先表述，然后共同整理

证明：设g是平面α内任一直线

（1）当lg都通过点B时，在l上点B的两侧分别取点AA′，使AB=A′B，则由已知条件推出mn都是线段AA′的垂直平分线

1°g与m（或n）重合

那么依l⊥m（或l⊥n）可推出l⊥g

2°g与m（或n）不重合，

那么在α内任作一线CD

m∩CD=C,n∩CD=D,g∩CD=E

连结ACA′CADA′DAEA′E

∵AC=A′C，AD=A′D，CD=CD，

∴△ACD≌△A′CD,

得∠ACE=∠A′CE

即△ACE≌△A′CE,那么AE=A′E

∴g是AA′的垂直平分线，于是l⊥g

（2）当lg不都通过点B时

过点B作l′g′，使l′∥l，g′∥g

同理可证l′⊥g′，因而l⊥g

综上所述，无论lg是否通过点B，总有l⊥g

由于g是平面α内任一直线，因而得l⊥α

［lg不都通过点B，可解释为：lg之一过点B，lg都不过点B］

［师］对于判定定理注意二点

一是判定定理的条件中，“平面内的两条相交直线”是关键性词语，一定要记准用对

二是要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，这是无关紧要的

3课堂练习