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专题圆锥曲线第四讲直线与圆锥曲线位置关系
活动一:基础检测:
1抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为eq\r(3)的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AK⊥l,垂足为K,则△AKF的面积是________
2椭圆eq\f(x2,12)+eq\f(y2,3)=1的一个焦点为F1,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点M在y轴上,那么点M的纵坐标是________
3过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,2)))的直线l与抛物线y=x2交于AB两点,O为坐标原点,则eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))的值为________
活动二:探究点一直线与圆锥曲线的位置关系
例1(南通市2024届高三上期末)如图,在平面直角坐标系中,分别是椭圆的左右焦点,顶点的坐标为,且?是边长为的等边三角形求椭圆的方程;过右焦点的直线与椭圆交于两点,记?,?的面积分别为若,求直线的斜率
训练1(2024届南京盐城市高三二模)如图,在平面直角坐标系中,椭圆E:的离心率为,直线l:与椭圆E相交于A,B两点,,C,D是椭圆E上异于A,B两点,且直线AC,BD相交于点M,直线AD,BC相交于点N
(1)求的值;(2)求证:直线MN的斜率为定值。
x
x
y
A
O
B
C
D
M
N
探究点二中点弦问题
【例2】?过点P(1,1)作直线交椭圆eq\f(x2,4)+eq\f(y2,2)=1于A,B两点,若线段AB的中点恰为点P,求AB所在直线的方程
【训练2】椭圆ax2+by2=1与直线x+y1=0相交于A,B两点,C是AB的中点,若AB=2eq\r(2),OC的斜率为eq\f(\r(2),2),求椭圆的方程
探究点三定值(定点)问题
【例3】?已知椭圆eq\f(x2,4)+eq\f(y2,2)=1上的两个动点P,Q,设P(x1,y1),Q(x2,y2)且x1+x2=2
(1)求证:线段PQ的垂直平分线经过一个定点A;
(2)设点A关于原点O的对称点是B,求PB的最小值及相应的P点坐标
【训练3】(2024·四川)
如图过点C(0,1)的椭圆eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(3),2)椭圆与x轴交于两点A(a,0)B(a,0)过点C的直线l与椭圆交于另一点D,并与x轴交于点P直线AC与直线BD交于点Q
(1)当直线l过椭圆右焦点时,求线段CD的长;
(2)当点P异于点B时,求证:eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))为定值
活动三:自主检测:
一填空题
1(2024·重庆)已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点为F(1,0),直线l与抛物线C相交于A,B两点,若AB的中点为(2,2),则直线l的方程为________
2已知直线l1:4x3y+6=0和直线l2:x=1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为________
3已知直线y=k(x+2)(k0)与抛物线C:y2=8x相交于AB两点,F为C的焦点若FA=2FB,则k=________
4(2024·镇江模拟)若直线y=kx+1(k∈R)与焦点在x轴上的椭圆eq\f(x2,5)+eq\f(y2,t)=1恒有公共点,则t的范围是________________________
5(2024·全国Ⅱ)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线为l,过M(1,0)且斜率为eq\r(3)的直线与l相交于点A,与C的一个交点为B,若Aeq\o(M,\s\up6(→))=Meq\o(B,\s\up6(→)),则p=________
二解答题
6(苏锡常镇四市2024届高三5月调研(二))在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆的左右焦点分别为F?与F,圆:
(1)设M为圆F上一点,满足,求点M的坐标;
(2)若P为椭圆上任意一点,以P为圆心,OP为半径的圆P与圆F的公共弦为QT,
(第6题)证明:点F到直线QT的距离FH为定值
(第6题)
7(14分)(2024·天津)已知椭圆eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(ab0)的离心率e=eq\f(\r(3),2),连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A,B,已知点A的坐标为(a,0),点Q(0,y0)在线段AB的垂直平分线上,且eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))=4,求y0的值
8(2024年江苏高考)如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率为,且右焦点F到左准
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