线性回归方程(课件)高二数学(苏教版2019选择性必修第二册).pptxVIP

9.1.2线性回归方程

第9章统计

苏教版（2019）选择性必修第二册

一、一元线性回归模型

生活经验告诉我们，儿子的身高与父亲的身高不仅线性相关，而且还是正相关，即父亲的身高较高时，儿子的身高通常也较高.为了进一步研究两者之间的关系，有人调查了14名男大学生的身高及其父亲的身高，得到的数据如表8.2-1所示.

表8.2-1

编号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

父亲身高/cm

174

170

173

169

182

172

180

172

168

166

182

173

164

180

儿子身高/cm

176

176

170

170

185

176

178

174

170

168

178

172

165

182

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利用前面表示数据的方法，以横轴表示父亲身高、纵轴表示儿子身高建立直角坐标系，再将表8.2-1中的成对样本数据表示为散点图，如图8.2-1所示.可以发现，散点大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近，表明儿子身高和父亲身高线性相关.利用统计软件，求得样本相关系数为r≈0.886，表明儿子身高和父亲身高正线性相关，且相关程度较高.

图8.2-1

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思考：根据表8.2-1中的数据，儿子身高和父亲身高这两个变量之间的关系可以用函数模型刻画吗？

在表8.2-1的数据中，存在父亲身高相同，而儿子身高不同的情况.例如，第6个和第8个观测的父亲身高均为172cm，而对应的儿子身高分别为176cm和174cm；同样，第3，4两个观测中，儿子身高都是170cm，而父亲身高分别为173cm和169cm.可见儿子身高和父亲身高之间不是函数关系，也就不能用函数模型刻画.

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我们称（1）式为Y关于x的一元线性回归模型.其中，Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量；a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx+a之间的随机误差.模型中的Y也是随机变量，其值虽然不能由变量x的值确定，但是却能表示为bx+a与e的和（叠加），前一部分由x所确定，后一部分是随机的.如果e＝0，那么Y与x之间的关系就可用一元线性函数模型来描述.

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二、一元线性回归模型随机误差的产生原因

在研究儿子身高与父亲身高的关系时，产生随机误差e的原因有：

（1）除父亲身高外，其他可能影响儿子身高的因素，比如母亲身高、生活环境、饮食习惯和锻炼时间等；

（2）在测量儿子身高时，由于测量工具、测量精度所产生的测量误差；

（3）实际问题中，我们不知道儿子身高和父亲身高的相关关系是什么，可以利用一元线性回归模型来近似这种关系，这种近似也是产生随机误差e的原因.

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三、经验回归方程

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四、残差分析

一般地，建立经验回归方程后，通常需要对模型刻画数据的效果进行分析.借助残差分析还可以对模型进行改进，使我们能根据改进模型作出更符合实际的预测与决策.

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五、用R2比较模型的拟合效果

可以用决定系数R2来比较两个模型的拟合效果，R2的计算公式为

在R2表达式中，与经验回归方程无关，残差平方和

与经验回归方程有关.因此R2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好；R2越小，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差.

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对R2的理解要注意以下三点

（1）在一元线性回归模型中，R2＝r2，因此0≤R2≤1，且在一元线性模型中，R2和r都能刻画用线性回归模型拟合数据的效果，|r|越大，即R2越大，用线性回归模型拟合数据的效果就越好，即相关程度越强.

（2）当两个变量x，y非线性相关时，用拟合系数R2判断拟合效果，R2越大，拟合效果越好.

（3）R2可以作为衡量任何模型拟合效果的一个指标，它越大，拟合效果越好.

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题型1线性回归分析

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解：(1)散点图如图

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(3)由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较大，需要确认在采集这个数据的时候是否有人为的错误，如果有的话，需要纠正数据，重新建立回归模型；由表中数据可以看出残差点比较均匀地落在不超过0.15的狭窄的水平带状区域中，说明选用的线性回归模型的精度较高，由以上分析可知，弹簧长度与拉力成线性关系．

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题型2非线性回归

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解：(1)作出散点图如下图，从散点图可以看出x与y不具有线性相关关系，根据已有知识可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y＝c1ec2x的周围，其中c1，c2为待定的参数．

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非线性回归问题的处理方法

(1)指数函数型y＝ebx＋a

①函数y＝ebx＋a的图