导数（解答题8种考法）（解析版）.docx

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导数（解答题8种考法）

考法一零点（交点）的个数

【例1-1】（2023·广东梅州·统考一模）已知函数.

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)若，讨论函数的零点个数.

【答案】(1)增区间为和，减区间为(2)答案见解析

【解析】（1）解：当时，，该函数的定义域为，

，

由可得，由可得或.

故当时，函数的增区间为和，减区间为.

（2）解：函数的定义域为，

，

由，得，，

由可得，由可得或.

所以，函数的增区间为、，减区间为，

所以，函数的极大值为，

极小值为，

当时，，

令，其中，

则，即函数在上单调递增，

故当时，，

此时，，所以在上不存在零点；

①当时，，此时函数无零点；

②当时，，此时函数只有一个零点；

③当时，，，

则在与上各有一个零点.

综上所述，（i）当时，在上不存在零点；

（ii）当时，在上存在一个零点；

（iii）当时，在上存在两个零点.

【例1-2】（2023·全国·模拟预测）已知函数，．

(1)若直线是曲线的一条切线，求a的值；

(2)判断函数的零点个数．

【答案】(1)(2)答案见解析

【解析】（1）设切点坐标为，则切线方程为，

即，

因为直线是曲线的一条切线，所以，，

因为，所以或（）．

当时，由，得a＝2；

当（）时，．

令，则，

所以在（1，＋∞）上单调递增，易知，

所以由，得．综上，．

（2）由（1）得（），

当，即时，，

所以当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递增，

故，因此函数没有零点．

当，即时，

令，得或，令，得，

所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

故的极大值，，

令（），则，

令（），则，

所以在上单调递增，，

所以在上单调递增，，即（），

因此，

又，故函数只有一个零点．

当，即时，，在（0，＋∞）上单调递增，

又，故函数只有一个零点．

当，即时，

令，得或，

令，得，

所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

故的极小值，

令，则，

易知当x＝4时，取得最大值，所以所以，

令，则，所以

，

由得所以，所以函数只有一个零点．

综上，当时，函数没有零点；当时，函数只有一个零点．

考法二零点（交点）个数求参

【例2-1】（2022·全国·统考高考真题）已知函数

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．

【答案】(1)(2)

【解析】（1）的定义域为

当时,,所以切点为,所以切线斜率为2

所以曲线在点处的切线方程为

（2）

设

若,当,即

所以在上单调递增,

故在上没有零点,不合题意

若,当,则

所以在上单调递增所以,即

所以在上单调递增,

故在上没有零点,不合题意

若

(1)当,则,所以在上单调递增

所以存在,使得,即

当单调递减

当单调递增

所以

当,

令则

所以在上单调递增，在上单调递减，所以，

又，，

所以在上有唯一零点

又没有零点,即在上有唯一零点

(2)当

设

所以在单调递增

所以存在,使得

当单调递减

当单调递增,

又

所以存在,使得,即

当单调递增,当单调递减，

当，，

又，

而,所以当

所以在上有唯一零点,上无零点

即在上有唯一零点

所以,符合题意

所以若在区间各恰有一个零点,求的取值范围为

【例2-2】（2023·四川南充·校考模拟预测）已知函数

(1)若是的极小值点，且，求的取值范围；

(2)若有且仅有两个零点，求的取值范围

【答案】(1)(2)

【解析】（1）的定义域为，由，可得，

，，

则在上单调递增，

函数在上单调递减，在上单调递增，满足是的极小值点，因为，所以，

可得，则，即的取值范围是

（2）令，有且仅有两个零点，故有且仅有两个零点

，设，

则，则为增函数

当趋近时，趋近，又，

所以在内存在唯一的零点，且，

则，即，则

函数为增函数，所以，则，

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增.

当趋近时，趋近，当趋近时，趋近

，只需满足，得，

故的取值范围为

考法三零点之间的关系的证明

【例3-1】（2022·全国·统考高考真题）已知函数和有相同的最小值．

(1)求a；

(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．

【答案】(1)(2)见解析

【解析】（1）的定义域为，而，

若，则，此时无最小值，故.

的定义域为，而.

当时，，故在上为减函数，

当时，，故在上为增函数，

故.

当时，，故在上为减函数，

当时，，故在上为增函数，

故.

因为和有相同的最小值，

故，整理得到，其中，

设，则，

故为上的减函数，而，

故的唯一解为，故的解为.

综上，.

（2）[方法一]：

由（1）可得和的最小值为.

当时，考虑的解的个数、的解的个数.

设，，

当时，，当时，，