第13讲拉格朗日定理与函数单调性2009.doc

《数学分析I》第13讲教案

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第13讲拉格朗日定理和函数的单调性

授课题目

拉格朗日定理和函数的单调性

教学内容

1.罗尔中值定理；2.拉格朗日中值定理；3.函数单调性的判别法则．

教学目的和要求

通过本次课的教学，使学生能较好地掌握罗尔中值定理和拉格朗日中值定理，会用导数判别函数的单调性，会应用罗尔中值定理和拉格朗日中值定理解决有关证明题．

教学重点及难点

教学重点：罗尔中值定理和拉格朗日中值定理；

教学难点：导数的极限定理.

教学方法及教材处理提示

(1)?复习费马定理的条件和结论，

(2)???本讲的重点是掌握罗尔中值定理和拉格朗日中值定理，要求牢记定理的条件与结论，知道证明的方法．

(3)???着重讲清讲透罗尔中值定理的证明方法，先讲几何意义，再讲述全部的分析证明过程。

(4)拉格朗日中值定理的证明看成是罗尔中值定理的应用，只需从几何意义出发得到辅助函数。

(5)函数单调性的判别看成是拉格朗日中值定理的应用，可采用讨论式教法进行授课，请较好的学生到讲台上来证明此问题．

(6)??本节的难点是用拉格朗日中值定理证明有关定理与解答有关习题．可要求较好学生掌握通过设辅助函数来运用微分中值定理解决有关问题．

（7）导数的极限定理安排在本次课的最后讲授，只要求要求较好学生掌握.

作业布置

作业内容：教材:4，5（1，2），6（3，4），7（1，3）.

讲授内容

一、罗尔定理与拉格朗日定理

1．(罗尔()中值定理)若函数满足如下条件：(i)在闭区间上连续；(ii)在开区间内可导；(iii)，则在内至少存在一点，使得.

罗尔定理的几何意义：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线(图6—1)．

证：因为在上连续，所以有最大值与最小值，分别用与表示，现分两种情况来讨论：

(1)若，则，在上必为常数，从而结论显然成立．

(2)若，则因，使得最大值与最小值至少有一个在内某点处取得，从而是的极值点．由条件(ii)，在点处可导，故由费马定理推知．

注：定理中的三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立。

例1设为R上可导函数，证明：若方程没有实根，则方程至多有一个实根．

证：这可反证如下：倘若有两个实根和(设)，则函数在上满足罗尔定理三个条件，从而存在，使，这与的假设相矛盾，命题得证．

2．(拉格朗日()中值定理)若函数满足如下条件：在闭区间上连续；在开区间内可导，则在内至少存在一点，使得.

显然，特别当时，本定理的结论即为罗尔定理的结论．

证：作辅助函数．

显然，，且在上满足罗尔定理的另两个条件．故存在使

即

拉格郎日中值定理的几何意义：在满足定理条件的曲线上至少存在一点，该曲线在该点出的切线平行于曲线俩端点的连线，我们在证明中引入辅助线函数，正是曲线与直线之差。

定理的结论称为拉格朗日公式。拉格朗日公式还有下面几种等价表示形式：

值得注意的是，拉格朗日公式无论对于，还是都成立，而则是介于与之间的某一定数，把表示成了（），使得不论为何值，.

例2证明对一切成立不等式.

证：设，则

当0时，由01可推知1。

当—10时，由0l可推得1，从而得到所要证明的结论。

推论1若函数在区间上可导，且，则为上一个常量函数．

证：任取两点(设)，在区间[]上应用拉格朗日定理，存在，使得

这就证得在区间上任何两点之值相等．

推论2若函数和g均在区间上可导，且，，则在区间上与只相差某一常数，即(c为某一常数)．

推论3(导数极限定理)设函数在点的某邻域U()内连续，在内可导，且极限存在，则在点可导，且.

例3求分段函数的导数。

解：首先易得

进一步考虑在处的导数．在此之前，我们只能依赖导数定义来处理，现在则可以利用导数极限定理．由于

因此在处连续，又因所以依据导数极限定理推知在处可导,且

*问题：若把在≤0处改为，有关在处的导数(或左、右导数)能得出何种结论?

二、单调函数

1．函数单调的充要条件

定理设在区间I上可导,则在I上递增(减)的充要条件是().

证：若为增函数,则对每一,当时,有令，即得

反之,若在区间I上恒有,则对任意(设)，应用拉格朗日定理，存在，使得由此证得在I上为增函数．

例4设．试讨论函数的单调区间．

解：由于因此

当时,递增;当时,递减;

当时,,递增.

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