江苏省涟水县第一中学高中数学 第6课 推与证明复习与小结 苏教版选修12.doc

第6课推与证明复习与小结

班级：高二（）班姓名：____________

教学目标：

1了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用

2了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理

3了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程特点

教学重点：

了解本章知识结构；进一步感受和体会常用的数学思维模式和证明方法

教学难点：

灵活选择并运用所学知识解决问题

教学过程：

基本回顾

本章知识结构：

归纳推理

归纳推理

类比推理

直接证明

间接证明

分析法

综合法

反证法

演绎推理

合情推理

证明

推理与证明

推理

基础知识过关：

（1）合情推理包括推理推理

（2）称为归纳推理；它是一种由到，由到的推理

（3）称为类比推理；它是一种由到

的推理

（4）归纳推理的一般步骤是：①，②

（5）类比推理的一般步骤是：①，②

（6）从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们称这种推理为

，它是一种由到的推理

（7）和是直接证明的两种基本方法

（8）反证法证明问题的一般步骤：①；②；

③；④

典例研究

例1（1）观察下列两等式的规律，请写出一个（包含下面两命题）一般性的命题：①

②

（2）考察下列一组不等式：将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是

（3）已知，计算得，，，

，，由此推测：当时，有

例2（1）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1:2，则它们的面积比为1:4类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1:2，则它们的体积比为

（2）若数列是等差数列，对于，则数列也是等差数列类比上述性质，若数列是各项都为正数的等比数列，对于，则时，数列也是等比数列

（3）已知椭圆具有性质：若是椭圆上关于原点对称的两个点，点是椭圆上的任意一点，当直线的斜率都存在时，则是与点位置无关的定值，试对双曲线写出具有类似特性的性质

例3若的三个内角成等差数列，分别用综合法和分析法证明：

证明：（分析法）要证，

只需证，

即证，

∵的三个内角成等差数列，∴，

由余弦定理得，即，

故原命题成立

（综合法）∵的三个内角成等差数列，∴，

由余弦定理得，即，

或，

两边同除以得

说明：分析法和综合法是两种常用的直接证明方法分析法的特点是执果索因，综合法的特点是由因导果，分析法常用来探寻解题思路，综合法常用来书写解题过程

例4已知，求证：不能同时大于

分析：“不能同时大于”包含多种情形，不易直接证明，可考虑反证法

证明：假设同时大于，

即，∵，

∴三式同向相乘得，

又，

同理，

这与假设矛盾，故原命题得证

说明：反证法属于“间接证明法”，是从反面的角度思考问题的证明方法用反证法证明命题“若p则q”时，可能会出现以下三种情况：

（1）导出非p为真，即与原命题的条件矛盾；

（2）导出q为真，即与假设“非q为真”矛盾；

（3）导出一个恒假命题

使用反证法证明问题时，准确地作出反设（即否定结论），是正确运用反证法的前提当遇到否定性惟一性无限性至多至少等类型问题时，常用反证法