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解析几何（解答题10种考法）

考法一定点

【例1-1】（2022·广西·校联考模拟预测）已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆的下顶点，且的面积为4.

(1)求椭圆C的方程：

(2)圆，点A，B分别是椭圆C和圆上位于y轴右侧的动点，且直线PB的斜率是直线PA的斜率的2倍，求证：直线AB恒过定点

【例1-2】（2023·江苏南通·统考一模）已知双曲线的左顶点为，过左焦点的直线与交于两点.当轴时，，的面积为3.

(1)求的方程；

(2)证明：以为直径的圆经过定点.

考法二定值

【例2-1】（2023·河南郑州·统考一模）已知椭圆：的离心率为，且过点．

(1)求椭圆的方程；

(2)设不过点的直线与椭圆交于，两点，关于原点的对称点为，记直线，，的斜率分别为，，，若，证明直线的斜率为定值．

【例2-3】（2023·浙江·校联考模拟预测）已知双曲线的离心率为，且点在双曲线C上.

(1)求双曲线C的方程；

(2)若点M，N在双曲线C上，且，直线不与y轴平行，证明：直线的斜率为定值.

考法三定直线

【例3-1】（2022·山东·山东师范大学附中校联考模拟预测）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线的斜率为，且原点到直线的距离为．

(1)求椭圆的标准方程，

(2)设椭圆的左、右顶点分别为、，过点的动直线交椭圆于、两点，直线、相交于点，证明：点在定直线上．

【例3-2】（2022·河北沧州·统考二模）已知椭圆的离心率为，且过点.

(1)求椭圆的方程；

(2)点关于原点的对称点为点，与直线平行的直线与交于点，直线与交于点，点是否在定直线上？若在，求出该直线方程；若不在，请说明理由.

考法四最值

【例4-1】（2023·全国·模拟预测）设椭圆的左焦点为F，上顶点为P，离心率为，O是坐标原点，且.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点F作两条互相垂直的直线，分别与C交于A，B，M，N四点，求四边形面积的取值范围.

【例4-2】（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）已知椭圆的中心是坐标原点，焦点在轴上，且经过点，．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)是经过椭圆的右焦点的一条弦（不经过点），设直线与直线相交于点，记的斜率分别为，，，求的最大值．

【例4-3】（2022·陕西模拟）已知抛物线上有一动点，过点作抛物线的切线交轴于点．

（1）判断线段的中垂线是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由；

（2）过点作的垂线交抛物线于另一点，求的面积的最小值．

考法五角的正切值与直线的斜率

【例5-1】（2023·广西柳州·统考模拟预测）已知平面上动点Q（x，y）到F（0，1）的距离比Q（x，y）到直线的距离小1，记动点Q（x，y）的轨迹为曲线C．

(1)求曲线C的方程．

(2)设点P的坐标为（0，－1），过点P作曲线C的切线，切点为A，若过点P的直线m与曲线C交于M，N两点，证明：．

【例5-2】（2022·全国·统考高考真题）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．

(1)求C的方程；

(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．

【例5-3】（2022·全国·统考高考真题）已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．

(1)求l的斜率；

(2)若，求的面积．

考法六长度比转化

【例6-1】（2023·全国·校联考模拟预测）已知抛物线E：的焦点关于其准线的对称点为，椭圆C：的左，右焦点分别是，，且与E有一个共同的焦点，线段的中点是C的左顶点．过点的直线l交C于A，B两点，且线段AB的垂直平分线交x轴于点M．

(1)求C的方程；

(2)证明：．

【例6-2】（2023·全国·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，A1，A2分别是椭圆的左、右顶点，M，N是C1上关于x轴对称的两点，直线A1M和A2N交于点P，记点P的轨迹为曲线C．

(1)求曲线C的方程；

(2)过点F（－2，0）的直线l与曲线C交于x轴上方的A，B两点，若D是线段AB的中点，E是线段AB上一点，且，记直线OD和OE的斜率分别为k1，k2，证明：k1k2为定值．

【例6-3】（2023·河南郑州·统考一模）已知椭圆C：的离心率为，直线过椭圆C的两个顶点，且原点O到直线的距离为．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)当过点P（0，2）的动直线l与椭圆C相交于两个不同点A，B时，求的取值范围．

考法七三点共线

【例7-1】（2022·河南·马店第一高级中学校联考模拟预测）已知曲线：经过点，．

(1)求曲线的方程；

(2)已知定点，过的直线与曲线交于A，B两点，过的直线与曲线交于C，D两点．若A，C，M三点共线，证明：B，D，M